习题3.2教案和学案内容

空间向量与立体几何（角度问题）教学设计

一、学习目标：

1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；

2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

3、探究题型，掌握解法。

二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。

三、学情分析：

本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。

四、教学过程

本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。

教学

环节

教

学

过

程

设

计

意

图

回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置

提问

线面的位置量化？

我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点

共同总结

一：回顾旧知

①点

→空间直角坐标系下点的坐标

②线

→直线的方向向量

③面→平面上一的一点、平面的法向量

明确点、线、面如何用

空间直角坐标系里的坐标

进行标示

直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差

平面的法向量→①设；②找；③列；④求。

所谓平面的法向量，就是指所在的直线与 的向量，显然一个平面的法向量有 多个，它们是 向量．

明确方向向量与平面法

向量的求法，回顾旧知识。

在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是 ．

二：几个空间角的范围

π(1)异面直线所成的角θ：0<θ≤2；

π(2)直线与平面所成的角θ：0≤θ≤2；

(3)二面角θ：0≤θ≤π.

进一步理解法向量

因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。

回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同

三、利用向量求空间角

1．两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝

(其中φ为异面直线a，b所成的角)．

2．直线和平面所成的角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面

α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为与学生φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝ .

互动

结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整

3．求二面角的大小

(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的

结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线两个面内与棱l垂

直的直线，则二面角的大小方向向量同平面法向量之θ＝ ．

间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整

通过之前的对比，分析

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角

的小大θ＝

．

教师

总结求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别规律

为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m.

|a·b|＝|a||b|. ②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ|a·n|＝|a||n|. ③平面α与平面β所成的二面角为θ，则|n·m||cosθ|＝|n||m|.、

①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。

例一：直棱柱ABC-A’B’C’中，AC=3，BC=4，AB=5，通过该例题，梳理清晰AC=CC’

的分析步骤与良好的答题（1）求异面直线AC’与B’C所成角的余弦值；

（2）求AC’与面AA’B’B所成角的余弦值；

习惯，培养学生良好的解题

思路，做到该拿的分拿到手。同时利用空间向量的方例1分析

与讲解。

法解决异面直线所成的角以及线面角的问题

典例剖析

例二：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为

平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥面通过该例题，强化对异面直ABCD。

（1）证明：PA⊥BD；

线所成角的认识，并复习二（2）若PD=AD求二面角A-PB-C的余弦值。

面角余弦值的求法。该题在

建系求坐标的时候设置了一定难度，以培养学生准确建系，正确求坐标的习惯。

练习一：

如图，已知P在正方体ABCD-A’B’C’D’的面对角线

D’B上，且∠PDA=60°

求DP与CC’所成角的大小；

求DP与平面AA’D’D所成角的大小。

随堂练

习

本题是高考题的改编，D'PA'B'C'消减了难度，但是让学生初步体会通过已知条件利用方程思想去求坐标。

DABC

AA

BEDBC

通过简单的课堂练习，巩固今天的复习内容，培养学生正确的答题习惯。

C

用空间向量解决空间角问题的一般步骤

提炼方法，达到高三复习课•

一：合理建系、准确求点；

该达到的效果

•

二：清楚对象、量化向量；

•

方向向量、坐标相减；面法向量、设找列求

方法提•

三：向量运算、求解夹角；

•

四：因地制宜、适当调整。

炼

•

完成试卷中的配套练习

课后巩固