三角形中的角平分线ppt课件教学实录

角平分线的构造

知识点一

角平分线性质

（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；

（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

（3）天然的轴对称模型，三线合一模型

知识点二

角平分线辅助线

秘籍一：往角两边作垂线

解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等

秘籍二：往角两边截取相等的线段

解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题

秘籍三：过角平分线上的点作垂线

解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形

秘籍四：过角平分线上的点作角一边的平行线

解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。

总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：BE

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。

求证：∠BAP＋∠BCP=180°。

E

PA

BD

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段

例题、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，

求证：∠1=∠2

A121(ACAB)

2A12FEBDCNC

EPBFCG

角平分线性质定理常用几种辅助线作法

一、由角平分线的性质联想两线段相等

例1 如图1，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，

DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．

A

E C M

B

F

D

图1

二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形

例2 如图2，BC＞AB，BD平分∠ABC，且AD=DC

求证：∠A+∠C=180°．

F

A

D B

C 图2

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形

例3 已知：如图3，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证：BD+CE=DE．

A

F D E

B C

图3

四、实际生活中的应用

例4 如图4，有三条公路l1、l2、l3两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？

[来源学&科&网Z&X&X&K]

图4 角平分线携“截长补短”显精彩

例1 如图1-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. D求证：CD=AD+BC. A

E

C

B

图1-1

[来源:学科网]

例2 已知，如图2-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°.

A

12

B

图2-1

[来源:Z_xx_k.Com]NPDC

例3 已知：如图3-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD.

BDA12C图3-2

E

注：中考题和模拟题的几何压轴题经常把角平分线的基本性质和对称性，和垂直平分线基本性质结合起来考。可以根据全等得到角等推出对角互补，从而推导出四个角相等，经常和相似结合起来出相似比，也会和圆结合起来考。

【练1】

已知AOB90，OM是AOB的平分线．将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合. （1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且PG求中考真题拔高

3PD，2GD的值；

OD（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与OCD相似，请画出示意图；当OD1时，直接写出OP的长. APCROSGDMB

【练2】

（1）如图1，BP为ABC的角平分线，PMAB于M，PNBC于N，

AB30,BC23，请补全图形，并求ABP与BPC的面积的比值；

（2）如图2，分别以ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断AOD与AOE的数量关系，并证明；

（3）在四边形ABCD中，已知BCDC，且ABAD请直接写出B和D的数量关系. EAA

，对角线AC平分BAD，MBPDOCB图2C图1

【练3】

已知，

点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°. （1）利用图1，求证：PA=PB；

（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当SPOB3SPCB时，求PB与PC的比值；

OB=2，（3）若∠MON=60°，射线AP交ON于点D，且满足且PBDABO，请借助图3补全图形，并求OP的长.

MMMTACOBNOAPCBPTPATNOBN[来源学_科_网]

图2

图1

图3

【练4】

在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ。

（1）

若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；

（2）

在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（3）

对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，QQD时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PM重合）请直接写出的范围。

，