1.1.1 命题优秀教案案例

长师中学数学科组

第一章

常用逻辑用语

1.1

命题

【学习目标】

(一)知识与技能

1．了解命题的定义，能判定一个句子是不是命题．

2．能够判断命题的真假．

(二)重点与难点

1．重点：了解命题的定义，判断命题的真假．

2．难点：判定一个句子是不是命题．

【知识点归纳】

1．命题的概念

(1)命题：把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

(2)真命题：判断为真的语句叫做真命题．

(3)假命题：判断为假的语句叫做假命题．

2．命题的形式

命题的一般形式为：“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

【自主演练】

1．下列语句中，能作为命题的是(

) A．3比5大

B．太阳和月亮

C．高年级的学生

D．x2＋y2＝0

【解析】3比5大是一个假命题．故选A．

2．下列语句：①明天下雨；②x<1；③若A⊆B，则A中存在不属于集合B的元素．其中是真命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3

【解析】不能判断明天是否下雨，故①不是命题；不能判断x<1的真假，故②不是命题；③中的语句是陈述句，并且它是假的，所以它是假命题．故选A．

3．下列语句：①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.其中是命题的是________(填序号)．

【解析】①④是命题，②③不是命题．故填①④.

4．把命题“当m>0时，方程x2＋x－m＝0有实根”改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

【解析】若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根，真命题．方程x2＋x－m＝0的判别式为Δ＝1＋4m. 当m>0时，Δ>0，故“当m>0时，方程x2＋x－m＝0有实根”为真．

1

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【典

例

精

析】

命题的判断：例1判断下列语句是不是命题，并说明理由

(1)若x＋y是有理数，则x，y均为有理数；

(2)一条直线l，不是与平面α平行就是相交；

(3)x2＋2x－3<0；

(4)作△ABC≌△A′B′C′；

(5)这是一棵大树；

(6)4是集合{1,2,3}的元素

【思路分析】

判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．

判断一个语句是不是命题，关键看两点：是否对一件事进行了判断，是否为陈述句．不能作出判断，无法下结论的陈述句不是命题．不是陈述句的其他句式不是命题．

命题的结构：

例2指出下列命题的条件和结论．

(1)如果a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c；

(2)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．

【思路分析】

一般而言，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论．

【规范解答】

(1)条件：a，b，c成等差数列；结论：2b＝a＋c. (2)条件：两个三角形相似；结论：对应角相等．

掌握命题的条件和结论，对命题真假性的判断非常关键，也有利于下一课时四种命题间的关系的学习．

命题真假的判断

例3把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)ac>bc⇒a>b；

(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

(3)当x2－2x－3＝0，x＝3或x＝－1.

【思路分析】

找准命题的条件和结论，是解决这类题目的关键，要注意大前提的写法．

【规范解答】

(1)若ac>bc，则a>b，假命题．

(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，假命题．

(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，真命题．

2

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(1)当一个命题的条件和结论不很明显时，可将表述适当改变，写出“若p，则q”的形式．

(2)把命题改写成“若p，则q”的形式，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结论写在后面．

(3)在第(2)小题中，“已知x，y为正整数”是大前提，不能把它写在条件中，应当写在前面，仍然作为命题的大前提．

【随

堂

练

习】

1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是(

) A．不是命题

B．真命题

C．假命题

D．不能判断真假

【解析】两边同加上同一个数不等式仍然成立，故是真命题．

2．下列命题是假命题的是(

) A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若ac2>bc2，则a>b

D．5>3

【解析】|a|＝|b|只能说明a与b长度一样．a＝b不一定成立．

3．在下列四个命题中，是真命题的序号为(

) ①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．

A．①

B．①②

C．①②③

D．①②④

【解析】对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形．

4．给出以下语句：

①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；

⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中为命题的是________，为真命题的是________．

【解析】①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②这是个疑问句，故不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为Δ＝16－20＝－4<0，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．

【规律总结】

1．命题的概念

并不是所有的语句都是命题，只有那些能够判断真假的语句才是命题，命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．

2．命题的真假

一个命题只有真、假两种情形中的一种，即要么是真的，要么是假的，不可能同时既是真命题又是假命题．

3．命题的结构

一般地，命题由条件和结论组成，有些命题中没有明确条件和结论，为了找到命题的条件和结论，需要把命题写成“若p，则q”的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论．

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第一章

第1课时

一、选择题

1．下列语句中，不能作为命题的是(

) ．．A．地球上有四大洋

C．π∉R

2．下列命题中，是真命题的是(

) A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程

B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点

C．互相包含的两个集合相等

D．空集是任何集合的真子集

3．有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是(

) ．．．A．1

C．3

B．2 D．4 B．－5∈Z

D．|x＋a| 4．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线且l⊂α，m⊂β，有如下命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么(

) A．①是真命题，②是假命题

C．①②都是真命题

二、填空题

5．命题“方程x2－x＋1＝0有两个实数根”的条件是____________________．

aa6．已知“当x1＜x2＜0时，则＞”是假命题，那么a满足的条件为__________．

x1x2三、解答题

7．判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假，并说明理由．

(1)求证3是无理数；

(2)x∈R，x2＋4x＋4≥0；

(3)你是高二学生吗？

8．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出命题的条件与结论．

(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；

(2)菱形的对角线互相垂直且平分．

1【答案】D

4 B．①是假命题，②是真命题

D．①②都是假命题

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【解析】A，B，C是命题，D不是命题．故选D．

2【答案】C 【解析】C是真命题，A，B，D是假命题．故选C．

3【答案】D 【解析】①面积相等，但对应边不一定相等，所以不一定全等；②xy＝0，可能有x＝0，y≠0或x≠0，y＝0，这两种情况都推不出|x|＋|y|＝0，故②也为假；③当c2＝0，即c＝0时，不成立；④矩形的对角线不一定垂直．故选D．

4【答案】D 【解析】①②都是假命题．故选D．

5【答案】一个方程是x2－x＋1＝0 【解析】把命题改写成：若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根．所以命题的条件是：一个方程是x2－x＋1＝0.

6【答案】a≤0 x1x211aa【解析】由x1＜x2＜0可得＜，即＜，要使＞是假命题，则a≤0. x1x2x1x2x2x1x1x27【解析】(1)祈使句，不是命题．

(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4＞0或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R，可判断真假，是命题，且是真命题．

(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．

8【解析】(1)原命题可改写成：“若x＝2，则x2－3x＋2＝0”．条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0. (2)原命题可改写成：“若一个四边形为菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．条件：四边形为菱形；结论：对角线互相垂直且平分．

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