1.2.1 充分条件与必要条件主要内容及教案内容

1.2 充分条件与必要条件（一）

1.2.1充分条件与必要条件；1.2.2充要条件

一、知识与技能

1．理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；

2．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．

二、过程与方法

通过师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。

三、情感态度与价值观

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。

四、教学重点 充分不必要条件、必要不充分条件的概念.

教学难点 理解充分条件、必要条件的判断方法．

教学方法 启发引导，分析讲解，练习领会。

五、教学过程

㈠

导入新课

前面，我们学习了命题的有关概念和它的真假判断方法，知道了互为逆否的两个命题的真假是一致的。如果原命题的真假不好判断，就可以改判它的逆否命题的真假。请判断下列命题的真假：

①若③若，则，则； ②若，则；

在逻辑学中怎样表示呢，

1．推断符号“”的含义：

命题②③④为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立．此时可记作“

”．

又例如命题①为假，由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作

“

”．

用推断符号“⑴若

⑵若

⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

①一般地，如果已知

，那么就说： 是 的充分条件； 是 的必要条件．

思考：

ⅰ

由上述定义中，“”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，，则；

，则”写出下列命题：

； ； ④若两三角形全等，则两三角形的面积相等．

真命题为

假命题为

如果从“若则”形式的命题角度理解，如何体现它们真或假呢？大家思考后给出解释

这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？

ⅱ

应注意条件和结论是相对而言的，由“”等价命题是“

”，

充要条件

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ⅲ

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

充分性：

必要性：

ⅳ四种命题

①

②

③

④

ⅴ 四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该

⑴确定条件是什么，结论是什么；

⑵尝试从条件能否推出结论，从结论能否推出条件

⑶确定条件是结论的什么条件.

ⅵ想一想：

回答下列问题中的条件与结论之间的关系：

⑴若，则；

⑵若，则； ⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等． 充要条件

【例1】．指出下列命题中，p是q的什么条件? ⑴p：，q：；

p是q的 ⑵p：两直线平行，q：内错角相等；

p是q的 ⑶p：，q：；

p是q的 ⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

p是q的

说明：1．以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. ① ,则是的充分不必要条件，（p对应集合

A,q对应集合

B）

② 则是的必要不充分条件，（p对应集合

A,q对应集合

B）

③ , 则是的充要条件，（p对应集合

A,q对应集合

B）

2．由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：

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⑴p是q充分不必要条件，即； ⑵p是q必要不充分条件，即， ⑶p是q既充分又必要条件，即， ⑷p是q既不充分也不必要条件，即， 【例2】填空：

⑴“

⑵若a、b都是实数，从①中选出使；②；③；④；⑤；⑥”是“”的

充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么

例5：证明：对于x、yR，

例6：已知:

p：求:实数m的取值范围．

例7:求关于x的一元二次不等式

于一切实数x都成立的充要条件。

；q：．若是的必要不充分条件，

是的必要不充分条件．

不都为0的充分条件是 ．

【例3】若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？

解： M是Q的 【例4】

① x>5是x>3的

条件（利用数轴）充分非必要

②已知p：

解:是

或；q：或，则是的什么条件？

的的

充分不必要条件

充要条件

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例8:求证实系数一元二次方程

例9.证明：在ABC中，AB的充要条件是sinAsinB。

例10.证明：在ABC中，ABC是正三角形的充要条件是a2b2c2abbcac，这里a,b,c

是三角形的边。

有两个异号根的充要条件是。

充要条件

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