1.1.2 四种命题教学实录

江门一中

高二数学◆选修2—1◆导学案

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§1.1.命题及其关系（一）

§1.1.1命题及四种命题

学习目标

1了解命题的概念及结构；会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式；

2、了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．

3. 激情投入，激发学习兴趣.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P2 ~ P6，找出疑惑之处）

1：命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题，判断为真的语句叫做_______，判断为假的语句叫做_______ ．

想一想：“x3”是命题吗？

提示：这不是一个命题．当x0时它成立；当x4时它不成立．随x的变化而变化，有时成立，有时不成立，无法判断其真假，因而它不是命题．

2：命题的形式

在数学中， __________是常见的命题形式，命题中的__叫做命题的条件， __叫做命题的结论．

试一试：尝试找出命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件与结论．

提示：该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q为“它不是合数就是素数”．

3：四种命题的概念

(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_____和_____ ，那么这样的两个命题叫做_________ ．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的_______．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“_________”．

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________和___________，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的_______．也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“_______________”．

(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________和___________ ，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的_________．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“_____________”．

1 想一想：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？

提示：任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．

二、新课导学

※

学习探究

1. 命题的判定

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题.

其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题. 因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．

2. 命题的构成

命题是由条件和结论两部分组成，它的结构形式为“若p，则q”．其中p是命题的条件，q是命题的结论，有些命题中没有明确的条件和结论，不是“若p，则q”的形式，为了找到命题的条件和结论，我们可把命题改写成“若p，则q”的形式．

3. 命题的真假

(1)命题分为真命题和假命题，一个命题要么是真命题，要么是假命题，不可能既是真命题又是假命题．

(2)“若p，则q”形式的命题的真假判定方法：若由已知条件p经过正确的逻辑推理，能够推出结论q成立，则可确定命题“若p，则q”是真命题，否则就是假命题．另外，判定一个命题是假命题，举一个反例即可．如“x2是负数”是假命题，因为当x0时，x2不是负数．

(3)数学中的公理、定理、公式等都是真命题．

4、四种命题

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：

原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；

否命题：若¬p，则¬q；逆否命题：若¬q，则¬p.

(1)关于四种命题也可叙述为：

①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；

②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；

③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．

2013年

月

日

高二(

)班

姓名：

第(

) 小组

第一章

常用逻辑用语

(2)已知原命题，写出它的其他三种命题，首先将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a,b为||b|”正数，若ab，则|a|中，“已知a,b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提．

※

典型例题

题型一：命题的判断

例1

下列语句：

①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？

②一个数的算术平方根一定是非负数；

③x，y都是无理数，则xy是无理数；

④请入室即静，入座即学；

⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．

其中是命题的是________．

规律方法 判断一个语句是否是命题的步骤：

第一步：语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题，而疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题．

第二步：该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，内容应是明确的，不能模棱两可．

变式1：下列语句是命题的是

( )．

A．x－1＝0

B．2＋3＝8 C．你会说英语吗

D．这是一棵大树

题型二：命题真假的判断

例2

判断下列命题的真假：

(1)

已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，

则a＋b≠c＋d；（ ）

(2)对任意的xN，都有x3x2成立；（ ）

(3)若m1，则方程x22xm0无实数根；（ ）

(4)空集是任何集合的子集；（ ）

(5)若整数a是素数，则a是奇数；（ ）

(6)若空间中两条直线不相交，则这两直线平行（

）

规律方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

变式2：下列命题：

①

xy1，则x、y互为倒数；

②

条边相等的四边形是正方形；

③

平行四边形是梯形；

④

ac2bc2，则ab. 其中真命题的序号是________．

题型三：将命题改写成“若p，则q”的形式

例3：把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；

(3)当acbc时，ab；

(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

(5)对顶角相等.

审题指导

本题主要考查“若p，则q”形式命题真

假的判断，解题的关键是分清命题的条件与结论．

（1）_______________________________________

（2）_______________________________________

（3）_______________________________________

（4）_______________________________________

（5）______________________________________

【题后反思】

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一．如本例(1)也可改为“若一个数是一个实数的平方，则它是非负数”．

变式3：把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．

(1)等边三角形的三个内角相等；

(2)当a0时，函数yaxb的值随着x的值的增加而增加；

(3)菱形的对角线互相垂直．

（1）______________________________________

（2）______________________________________

（3）_______________________________________

2

江门一中

高二数学◆选修2—1◆导学案

编写：

审核：

题型四：写出命题的逆命题、否命题和逆否命题

例4．写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．并判断命题的真假. (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x10，那么x0；

(3)当x2时，x2x60. (1)逆命题：_________________________________ 否命题：_________________________________ 逆否命题：______________________________

(2)逆命题：________________________________

否命题：_______________________________ 逆否命题：_______________________________

(3)逆命题：____________________________ 否命题：____________________________ 逆否命题：______________________________

规律方法 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．

变式4：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．并判断命题的真假. (1)垂直于同一平面的两直线平行；

(2)若mn0，则方程mx2xn0有实根．

(1)逆命题：_________________________________ 否命题：_________________________________ 逆否命题：______________________________

(2)逆命题：________________________________ 否命题：_______________________________ 逆否命题：_______________________________

3 三、总结提升

※

学习小结

1. 命题的概念及构成；

2. 命题的真假；

3. 把命题写成“若p，则q”的形式. 4. 写出命题的逆命题、否命题和逆否命题

你想进一步探究的问题是什么？

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1．下列语句是命题的是______．

①

求证3是无理数；

②

x2＋4x＋4≥0；

③

你是高一的学生吗？

④

一个正数不是素数就是合数；

⑤

若xR，则x2＋4x＋7>0.

2. 有下列四个命题：

①

若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；

②

若ab，则a2b2”的逆否命题；

③

若x3，则x2x60”的否命题；

④

同位角相等”的逆命题．

其中真命题的是________．

3．设α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两

两不重合的直线，给出下列四个命题：

（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

（2）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

（3）若α∥β，l⊂α，则l∥β；

（4）若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数是

(

)．

A．1

B．2

C．3

D．4

2013年

月

日

高二(

)班

姓名：

第(

) 小组

第一章

常用逻辑用语

4．下面有五个命题：

①

函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；

②

终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} 2③

在同一坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；

ππ④

把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移，得362、写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假

（1）若a,b都是偶数，则ab是偶数；

（2）若m0，则方程x2xm0有实数根. (1)逆命题：_________________________________ 否命题：_________________________________ 逆否命题：______________________________

(2)逆命题：________________________________ 到y＝3sin 2x的图象；

⑤

函数y＝sin(x－π2)在[0，π]上是减函数．

其中真命题的序号是__________________

5．命题“若aA，则bB”的否命题是(

)．

A．若aA，则bB

B．若aA，则bB

C．若bB，则aA

D．若bB，则aA

课后作业

1、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)ac＞bc⇒a＞b；

(2)已知x、y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

(3)当m＞124时，mx－x＋1＝0无实根；

(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1. (5)“偶函数的图象关于y轴对称”

（1）_______________________________________

（2）_______________________________________

（3）_______________________________________

（4）_______________________________________

（5）_______________________________________

否命题：_______________________________ 逆否命题：_______________________________ 4