1.1.3 四种命题间的相互关系优秀教案

1.1.2 四种命题

1.1.3四种命题间的相互关系

一、【教学目标】

重点：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，主要是会分析四种命题间的相互关系；

难点：能运用命题及其逆否命题间的等价性，判断或证明命题的真假性；

知识点：原命题、逆命题、否命题与逆否命题的相互关系图及其真假性之间的联系；

能力点：能熟练地由一种命题出发，准确地写出其他三种命题；

教育点：从生活中的命题问题出发，体会学习常用逻辑用语的意义；

自主探究点:通过小组讨论的形式，列举大量具体命题归纳得到原命题与逆否命题相同的真假性；

训练点：熟练写出四种命题形式，并进行真假判断；

考试点：运用原命题与逆否命题逻辑等价，逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题；四种命题真假成对性的特点；

易错点：不能正确写出原命题的否命题及逆否命题；

易混点：混淆命题的否命题和命题的否定；

拓展点：体会在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题这种间接证明命题的方法，了解它是反证法的一种．

二、【引入新课】

观察下列四个命题：

（1）若两个角是对顶角，则它们相等；

（2）若两个角相等，则它们是对顶角；

（3）若两个角不是对顶角，则它们不相等；

（4）若两个角不相等，则它们不是对顶角．

提问：命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论分别是什么？它们之间分别有什么关系？

【设计意图】学生通过思考和讨论，回顾了本章研究的命题的形式，同时也将学生的注意力集中在思考四种命题的条件和结论的关系上．

三、【探究新知】

探究一

思考：下列两个命题间有什么关系？

（1）35能被5整除；

（2）35不能被5整除．

学生很容易发现并理解，命题（2）是命题（1）的否定．

定义：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记做p，读作“非p”或“p的否定”．

上面的思考中，命题（1）是真命题，命题（2）是假命题．命题p是p的否定，p与p不能同为真命题，也不能同为假命题．也就是说，

若命题p是真命题，命题p是假命题；若命题p是假命题，命题p是真命题．

【设计意图】提前让学生理解命题的否定的概念，以便能正确书写否命题．

探究二

下列四个命题中，命题（1）（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；

结论1：命题（1）的条件是命题（2）的结论，且命题（1）的结论是命题（2）的条件，即它们的条件和结论互换了．

定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．

也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．

例如“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”．

这里我们同样可以发现命题（3）和（4）是互逆命题．

结论2：对于命题（1）（3），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．

也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若p，则q”．

例如“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”．

这里我们同样可以发现命题（2）和（4）是互否命题．

结论3：对于命题（1）（4），其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．

也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若q，则p”．

例如“同位角相等，两直线平行”的否命题是“两直线不平行，同位角不相等”．

这里我们同样可以发现命题（2）和（3）是互否命题．

总结：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系，如图所示．

若p，则q

原命题

互

否

否命题

互逆

若p，则q

若q，则p

互逆

互

否

逆为

逆

为

互

否

若q，则p

逆命题

互

否

逆否命题

【设计意图】理解四种命题的概念，及通过关系图，让学生直观感受它们之间的相互关系，熟练掌握由一种命题出发，准确地写出其他三种命题的能力．

探究三

四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？

思考：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假．

（1）若a0，则ab0；

22（2）若ab，则ab；

（3）若ab，则acbc；

（4）若一个四边形四条边相等，则它是正方形．

学生通过分组讨论，不难发现：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

真

真

假

假

既而总结出以下规律，即：

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

【设计意图】通过大量列举实例，让学生自主感受四种命题真假性的相互关系，使之更有说服力．

四、【理解新知】

1．四种命题的转化首先要找出原命题的条件和结论，然后写出命题条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构直接转化即可．

2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．有时命题的表示是简略式，此时应先分清命题的条件p和结论q，然后根据概念写四种命题．

3．判断四种命题的真假，首先要正确写出四种命题，如果直接判断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性判断命题的真假．四种命题的真假性是成对出现的．

4．注意命题的否定和原命题的否命题之间的区别：命题的否定指的是命题p这种形式的命题，得到的是p；原命题的否命题指的是命题“若p，则q”这种形式的命题，得到的是“若p，则q”．

5．等价命题转换法：在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题这种间接证明命题的方法，是反证法的一种．

五、【运用新知】

例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；

（2）在ABC中，若ab，则AB．

分析：先把命题写成“若p，则q”的形式，再按照四种命题的关系写出逆命题、否命题、逆否命题．

解：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．

（2）逆命题：在ABC中，若AB，则ab．

否命题：在ABC中，若ab，则AB．

逆否命题：在ABC中，若AB，则ab．

【设计意图】指导学生熟练掌握四种命题的概念．

变式训练：命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（

）．

A．若一个数是负数，则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数，则它是负数

C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数

D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

答案：B．

例2 下列命题中为真的是（

）．

①“若xy0，则x,y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若x2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③

B．①③

C．②③

D．①②

分析：

确定条件和结论

写出所求命题

2222判断真假

解：①原命题的否命题为“若xy0，则x,y全为零”．真命题．

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．

③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x2不是有理数”．

x不是无理数，x是有理数．

又2是无理数，x2是无理数，不是有理数，故为真命题．

故真命题为①③，选B．

【设计意图】掌握四种命题的真假判断．

变式训练：下列命题中，真命题是（

）．

22A．命题“若ab，则ab”

B．命题“若b3，则b9”的逆命题

C．命题“当x2时，x3x20”的否命题

D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

答案：D．

22例3 已知函数f(x)是(,)上的增函数，a,bR，证明：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0．

分析：

法一：

原命题

法二：

假设原命题不成立

逆否命题

判断逆否命题真假

推出矛盾

原命题真假

假设错误，原命题真

否定后的结论作已知条件

证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(,)上的增函数，以a,bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)．”

若ab0，则abb,a，又f(x)在(,)上是增函数，f(a)f(b),f(b)f(a)．

所以f(a)f(b)f(a)f(b)，

即逆否命题为真命题．

原命题为真命题．

【设计意图】引导学生运用原命题与逆否命题逻辑等价，逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题，也是重要的考点．

变式训练：证明：若x2y20，则xy0．

22证明：若x,y中至少一个不为0，不妨设x0，则x0，所以xy0．

22这与已知条件xy0矛盾，故xy0．

2

六、【课堂小结】

1．原命题、逆命题、否命题与逆否命题四种命题的定义及其相互关系图．

2．由一种命题出发，准确地写出其他三种命题．

3．运用原命题与逆否命题逻辑等价、逆命题与否命题逻辑等价解决命题真假问题．

七、【布置作业】

必做题：

l．命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是（

）．

A．若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

C．若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

2．一个命题及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中（

）．

A．真命题的个数一定是奇数

B．真命题的个数一定是偶数

C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数

D．上述判断都不正确

3．有下列命题：（

）．

①“若xy1，则x,y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b1，则方程x2bxbb0有实根”的逆否命题；

④“若A22BB，则AB”的逆否命题．

22其中真命题是

（填序号）．

4．证明：若a4b2a10，则a2b1．

答案：l．B

2．B

3．①③

选做题：

l．已知a,b,cR，命题“若abc3，则abc3”的否命题是（

）．

A．若abc3，则abc3

B．若abc3，则abc3

C．若abc3，则abc3

D．若abc3，则abc3

2．设a,b是向量，命题“若ab，则a=b”的逆命题是（

）．

A．若ab，则ab

B．若ab，则ab

C．若ab，则ab

D．若a=b，则ab

答案：l．A

2．D

222222222222222八、【教后反思】

l．本节主要是依据四种命题及其关系是简单逻辑的基础来设计的．虽然本节内容较为简单，但是学生易忽视细节问题从而导致出错．所以本节注重定义的产生过程，让学生自主参与举例，并结合大量命题来探究四种命题的真假性，使得教学过程有根有源，学生理解自然．再通过三种题型的训练，让学生熟练掌握本节的重难点，达到学有所用的目的．在作业的选做题里选用近两年的高考题，让学生重视本节的基础知识，进一步明确考点．

2．本教案也有许多不足之处，比如命题的否定出现在1.3简单的逻辑联结词中，而本节要写出原命题的逆命题和逆否命题，则需要正确写出条件的否定和结论的否定，在例3的变式训练即课本的例4中，甚至用到了全称量词的否定，让学生产生了本节难点以外的困惑．但是受限于课堂时间和篇幅，本节课无法涉及到过多的内容，只能抓住冰山一角，让学生稍作了解．所以从细致程度上，本节课尚有欠缺．但是按照课程安排，本节课的设计整体上还是合适的．未能深入探究的部分，可以留到后三节的学习中再度加深．

九、【板书设计】

1.1.2-1.1.3 四种命题及其关系

引例：

定义:：

例1

例2 例3

小结

作业