1.1.2 四种命题教学设计及教案分析

1.1.2

四种命题

1.1.3

四种命题间的相互关系

明目标、知重点

1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

1．四种命题的概念

(1)互逆命题：

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．

(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．

2．四种命题的真假性的判断

原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真

原命题为真，它的逆否命题一定为真．

探究点一

四种命题的概念

思考1

下列四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

答

命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．

对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；

对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．

思考2

若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题．

答

逆

否

逆否

思考3

在四种命题中，原命题是固定的吗？

答

不是，任何一个命题都能作为原命题．

小结

1.四种命题的定义及相互关系

(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

(2)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

(3)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

2．四种命题的形式

原命题：若p，则q.则：

逆命题：若q，则p. 否命题：若綈p，则綈q. 逆否命题：若綈q，则綈p. 例1

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x>10，那么x>0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 解

(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；

逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. (3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2. 反思与感悟

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．

跟踪训练1

分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：

(1)实数的平方是非负数；

(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．

解

(1)原命题是真命题．

逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)原命题是真命题．

逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；

否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；

逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．

探究点二

四种命题的关系

思考1

下列四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系，那么任意两个命题之间有什么关系？

答

(2)(3)互为逆否命题．(2)(4)互为否命题．(3)(4)互为逆命题．

思考2

四种命题的相互关系是什么？

思考3

通过以上学习，你认为如果原命题为真，那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？

答

原命题为真，它的逆命题，否命题不一定为真．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

思考4

原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？

答

原命题为真，它的逆否命题一定为真，两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．

小结

原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．

逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

例2

下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．

其中的真命题是________．

答案

①②③

解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．

所以真命题是①②③. 反思与感悟

要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

跟踪训练2

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“同位角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是________．

答案

1 解析

①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．

②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．

③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．

④“相等的角是同位角”是假命题．

探究点三

等价命题的应用

思考

我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？

答

可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

例3

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．

解

方法一

原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：

因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

若a<1，则4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真．

方法二

先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

即4a－7≥0，

所以a≥1.所以原命题成立．

又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．

反思与感悟

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练3

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. 证明

“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为

“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1 ＝0. ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．

1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

答案

B 解析

否命题是既否定条件又否定结论．

因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．

2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是(

) A．若A∪B＝B，则A∩B＝A

B．若A∩B≠A，则A∪B≠B

C．若A∪B≠B，则A∩B≠A

D．若A∪B≠B，则A∩B＝A

答案

C 解析

注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．

3．命题“如果x2<1，则－1

) A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．如果－11或x<－1，则x2>1 D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1 答案

D 解析

原命题结论“－1

①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

其中为真命题的是________．

答案

①③

解析

①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．

③∵Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．

[呈重点、现规律]

1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所有命题．

2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．

3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.

一、基础过关

1．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是(

) A．若x≤y，则x2≤y2

B．若x>y，则x2

C．若x2≤y2，则x≤y

D．若x

答案

C 解析

由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．

2．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(

) A．若a∉A，则b∉B

B．若a∈A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉A

D．若b∉B，则a∉A

答案

B 解析

命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式．

3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 解析

原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．

4．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为__________．

答案

若x，y不全为零，则xy≠0 解析

由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．

5．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个

命题中，真命题有________个．

答案

2 解析

原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．

6．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号) 答案

②和③

①和③

①和②

7．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

解

(1)命题p的否命题为“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．”

(2)命题p的否命题是真命题．

证明如下：

∵ac<0，

∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．

∴该命题是真命题．

二、能力提升

8．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．

其中真命题的序号为(

) A．①②

B．②③

C．①③

D．③④

答案

C 解析

命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．

9．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则有

①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；

②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；

③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．

其中所有正确叙述的序号是________．

答案

①②

解析

原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．

10．给定下列命题：

①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；

③“矩形的对角线相等”的逆命题；

④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为零”的否命题．

其中真命题的序号是________．

答案

①②④

解析

①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题．

②其逆否命题为真，故②是真命题．

③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．

④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．

11．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

解

逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；

否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；

逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2. ∵原命题是假命题，∴逆否命题也是假命题．

∵逆命题是假命题，∴否命题也是假命题．

12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

解

方法一

(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二

(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

解

(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，

则a＋b≥0，为真命题．

由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

因为a＋b<0，则a<－b，b<－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，

则f(a)

所以f(a)＋f(b)

因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)

因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题．

因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a. 又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．

所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

所以逆否命题为真命题．