小结第二课时教案

高三专题复习课：求轨迹方程

广州市九十七中数学科 温效良

【考纲要求及分析】

考纲要求：1．掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质.

2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.

3．结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.

【教学目标】

知识与技能目标：

1．掌握求轨迹方程的一般步骤. 2．掌握定义法和相关点法求轨迹方程.

过程与方法目标：

通过让学生积极参与知识回顾、解决问题、变式训练等环节，培养学生类比、数形结合的数学思想方法.

情感态度与价值观目标：

通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度. 【教学重点与难点】

重点：

1．掌握求轨迹方程的一般步骤. 2．掌握定义法和相关点法求轨迹方程. 难点：

1.

定义法中如何建立动点满足的几何关系. 2.

相关点法种如何建立相关点之间的数量关系.

【教学手段】

运用超级画板辅助教学

【教学设计】

教学教学内容

环节

基本求曲线方程的一般步骤（建设现（限）代化）：

知识1.建系：建立适当的坐标系，用

M(x,y) 表示曲

线上任意一点；

回顾

2.几何列式：写出满足条件的点Ｍ的集合｛Ｍ|Ｐ(M) ｝；

3.代数方程：将Ｍ点坐标（x,y）代入几何条件，列出方程

f

(x,y) =0；

4.化简：化方程为最简形式；

5.证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹.

考题（16周测试题20）已知圆M的方程为：(x3)2y2100

及定回顾

点N（3，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线交圆M的半径MP于Q点，设点Q的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）略. 解：（1）由QNQP

得：QMQNQMQP10（定值）

所以得动点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，

又M（-3，0）N（3，0）知c3，

∴

a5，b4，且中心在原点,焦点在x轴，

1 设计意图

明确求轨迹方程的一般步骤，让学生清晰高考复习方向，抓住复习的重点. 通过考题回顾，进行知识回顾，一方面让学生回忆方法并深入理解，另一方面为下一步运用相关知识作好准教学

方式

展示于学案中，让学生在后面的例题讲解中理解体会. 学生边回顾测验题边自己总结解题规律，教师对关键点进行点拔，增强学生对相

x2y2得Q点的轨迹方程是：

1

2516备.

关内容的理解.

归纳小结：定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，确定方程中的常数，即可得到轨迹方程.

题型题型1

定义法求轨迹方程

先用超级22分析

例1

一动圆与圆O:xy6x50外切，同时与圆画板直观1O2:x2y26x910内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线. 解：设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，将圆方程分别配方得：

22(x3 )2（y 0 ）22，(x

3 )2（y 0 ）102，

当M与O1相切时，有|O1M|R2

①

当M与O2相切时，有|O2M|10R

②

将①②两式的两边分别相加，得|O1M||O2M|12，

探求轨迹，再利用填空的形式，搭建脚手架，帮助学生自然地找到解决问题的突破口. 让学生分析动手操作，然后再做填空，完成整个解答过程，最后老师点评. 即以得动点M的轨迹是以O1，O2为焦点的椭圆，

所以a6,c3,a236,b2a2c227

x2y21，轨迹是椭圆

所以，动圆圆心的轨迹方程是3627点评：定义法的关键是条件的转化——转化成我们已知的某种曲线的定义的几何条件.

变式变式1：若一动圆与两圆x2+y2=1, x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆训练

心的轨迹为

（

）

A、双曲线

B、抛物线

C、椭圆

D、双曲线的一支

解：依题意得，两圆圆心分别为O(0,0)，A(—4,0) 设动圆圆心为P(x,y)，半径为R，则|PO|=R+1，|PA|=R+2

∴

|PA|—|PO|=1<|AO|

∴动圆圆心的轨迹为双曲线的一支(左支)

答案：D 题型题型2

相关点法求轨迹方程

分析

例2已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．

解：设点P(x，y)，且设点B(x0,y0)

∵BP∶PA=1∶2，∴

通过变式，巩固基本知识、方法，加深理解.渗透数形结合思想，培养学生分析问题及做题的严谨性.

运用超级画板，让学生体验到数与形之间的密切联系，培养学生数形结合的数学思想方法. 学生先画图分析，然后得出结论，老师点评.

学生先用超级画板探究，再补充过程，老师和学生互动点评.

1BPPA

23x1y,)

22∴

(xx0,yy0)(

2

3xxx02∴



∴

yy1y023x3x3xx022（*）

yy1y3y10222∵

B为抛物线上任意一点，则有y0x01，

将（*）式代入抛物线方程中，整理得(y)它是一条抛物线

13221(x)

33小结：1.相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x0，y0)的运动而有规律地运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先用x,y表示x0，y0，再代入Q的轨迹方程，然后整理即得P的轨迹方程.代入法也称相关点法.

2.由相关点之间的关系建立相关点坐标之间的数学表达式是关键.

变式x2y21上一动点，O为坐标原点，M为线练习

变式2：设P为双曲线以变题分阶梯上升难度，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力.

学生先做，老师和学生互动点评. 4段OP的中点，则点M的轨迹方程是

. 解：设P（x0，y0）

，M（x，y）

∵

xx0y,y0

∴x0＝2x，y0＝2y

222x02y01

4∵P在双曲线上，∴

4x24y21

∴点M的轨迹方程是x2－4y2＝1 ∴4x2y21有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，求变式3：双曲线9PF1F2的重心M的轨迹方程.

解：设P,M点坐标别为P(x1,y1),M(x,y)，

∴在已知双曲线方程中a3,b1，∴c9110

∴已知双曲线两焦点为F1(10,0),F2(10,0)，

x1(10)10xx13x3由三角形重心坐标公式有，即

. y13yyy1003已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，

(3x)2(3y)21

有9∵PF1F2存在，∴y10，∴y0. 即所求重心M的轨迹方程为：x9y1(y0).

3 22

1.已知圆C：(x﹣1)2+y2=1,过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨学生可用

超级画板课后迹方程. 探究轨迹，练习

解：设圆C的任一点Q(x0，y0)，弦OQ的中点P的坐标为(x,y) x0xx02x2则

又因为(x0-1)2+y02=1，

y02yyy02所以有(2x-1)2+4y2=1，

∵Q点不能与O重合，∴x00即x0

1212即所求的轨迹方程是(x)y(0x1)

242.已知B为圆x2y21上的一个动y下课后继续补充解题过程. C 点，A（2，0），△ABC是以BC为斜边B 的等腰直角三角形（A，B，C按顺时针排列），如图，求点C的轨迹方程. O

x

图

分析：根据求轨迹方程的一般步骤，求C点轨迹就有设C（x,y），B是所谓的相关点，设为（x1,y1），由AB⊥AC和|AB|＝|AC|和x12y121可以得到如下解法. 2解：设C（x,y），B（x1,y1），则x1y121，

∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，

y1y1①

∴

(x12)2y12(x2)2y2

②

x12x2(x2)(x12)22由①得y1

③

把③代入②得(x12)y，

y∵x12,y0，∴x12y，x1y2，

把x1y2代入①得y1x2，

22从而所求的轨迹方程为(x2)(y2)1．

∴归纳1、题型归纳：

总结

（1）定义法求轨迹方程的关键是：

（2）相关点法求轨迹方程关键是：

2、数学思想方法归纳：

数学思想：化归思想、数形结合思想

布置1、完善学案中没有完成的解题过程. 作业

2、反馈练习（见学案）

回顾知识，总结方法

学生各抒己见

精选同类题，巩固所学知识

设计

高三的第一轮复习时间是有限的.如何在一堂数学课中通过为数不多的题达到有效教思路

学，扎实基本知识，过好基本方法，并着重培养学生数学思维和提高解决问题的能力？我力图从以下3个方面做到：

1、明确新课程标准数学科高考考纲要求，让学生清晰高考复习方向，抓住复习的重点. 2、精选题目，突出本节课教学重点与难点. 3、利用超级画板工具，让学生积极参与解决问题、知识回顾、变式训练等环节，让学生体验到数学知识间的密切联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，以及解决相关问题的能力.

教学通过课堂实践，能很好的完成预设的教学目标，学生能够通过自己动手设计寻求出正反思

确的轨迹以及补充完成证明过程。通过多媒体技术，能够通过具体直观图像，帮助学生理解和解题时毫无疑问的。但是能否提高学生的抽象思维能力，正确求轨迹方程有待验证。

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