复习参考题教学设计第二课时

专题

轨迹方程求解方法

【高考地位】

求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。

【方法点评】

方法一 直接法

使用情景：可以直接列出等量关系式

解题步骤：第一步 根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）

第二步 根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。 例1在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y与两点A1,0,B1,0的连线PA,PB的斜率之积为点P的轨迹方程为（ ）

23232A. xy1y0

B. xy1x1

C. x2y31

D. x2y31

1，则y【变式演练1】已知A. （，（，动点满足） C. （，则点的轨迹方程是（ ）

）

D. （）

）

B. 例2【2018云南昆明一中模拟】已知点A3,0，

B3,0，动点P满足PA2PB，则点P的轨迹为（

）A. 直线

B. 圆

C. 椭圆

D. 双曲线

【变式演练2】已知点M到点F(2,0)的距离比到点M到直线x60的距离小4；求点M的轨迹C的方程；

方法二 定义法

使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义

解题步骤：第一步 根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双

曲线、抛物线等）

第二步 直接根据定义写出动点的轨迹方程。

22例3已知两圆C1:x4y169,C2:x4y9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相22

1

外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）

x2y2x2y2x2y2x2y21

B. 1

C. 1

D. 1

A. 6448486464484864【变式演练1】已知点F,0，直线l:x141，点B是直线l上动点，若过B垂直于y轴的直线与线段4BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（

）

A、双曲线

B、抛物线

C、椭圆

D、圆

例2已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足OHHF2．求点P的轨迹方程；

【变式演练2】已知点P3,1和圆O:x2y216，过点P的动直线与圆O交于M,N，则弦MN的中点Q的轨迹方程__________．

方法三 相关点法（代入法）

使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动

''解题步骤：第一步

判断动点Px,y随着已知曲线上的一个动点Qx,y的运动而运动



第二步

求出关系式xfx,y,ygx,y

''

第三步

将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程

例4

已知AB3,

A,B分别在y轴和x轴上运动，

O为原点，

OP12OAOB,点P的轨迹方程33x2y2x2y22222y1

B. x1

C. y1

D. x1

为（ ）.A. 4499【变式演练1】已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F-3,0，且右顶0.设点A的坐标是1，。

点为D2，（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程。

【变式演练2】已知F是抛物线y1212x的焦点，

P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是42

2（ ）A. xy112

B. x2y

C. x22y1

D. x22y2

216方法四 参数法

使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时

解题步骤：第一步

引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y；

第二步

消去参数，得到关于x,y的方程，即为所求轨迹方程。

例6、已知过点0,1的直线与圆x2y24相交于A、B两点，若OAOBOP，则点P的轨迹方程是（ ）

221122A. xy1

B. xy11

C. x2y2

D. xy12

22222【变式演练1】已知圆C:xy25，过点M2,3作直线l交圆C于A,B两点，分别过A,B两点作22圆的切线，当两条切线相交于点N时，则点N的轨迹方程为__________．

点睛：求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．

(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程

【反馈练习】

1、设A为圆(x－1)＋y＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是(

)

A. (x－1)＋y＝4

B. (x－1)＋y＝2

C. y＝2x

D. y＝－2x

2、【广东省韶关市十校2015届高三10月联考，理20】

如图所示，已知圆C:(x1)y8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满AM2AP,NPAM0,点N的轨迹为曲线E.

（I）求曲线E的方程；

222222222222223、【2018河省豫南豫北联考联】已知：如图，两同心圆：

xy1和xy4. P为大圆上一动点，连结OP（O为坐标原点）交小圆于点M，过点P作x轴垂线PH（垂足为H），再过点M作直线PH的

3

垂线MQ，垂足为Q.

（1）当点P在大圆上运动时，求垂足Q的轨迹方程；[来源:学,科,网Z,X,X,K]

x2y22CO4. 已知椭圆：

221(ab0)的左焦点为F1,0，

为坐标原点，点G1,2在椭圆上，ab过点F的直线l交椭圆于不同的两点A,B.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；

5.

已知点A的坐标为2,0，圆C的方程为xy4，动点P在圆C上运动，点M为AP延长线上22一点，且APPM．

（1）求点M的轨迹方程．

6.

在平面直角坐标系xOy中，点F13,0，圆F2:x2y223x130，以动点P为圆心的圆经P与圆F2内切.过点F1，且圆[来源:Z#xx#k.Com]

（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；

（Ⅱ）若直线l过点1,0，且与曲线E交于A,B两点，则在x轴上是否存在一点Dt,0t0，使得x轴平分ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

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