1.2.1 充分条件与必要条件教学设计(教案)

充分条件和必要条件

【教学目标】

1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；

3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；

【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．

【教学过程】

一、复习回顾

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

3．请判断下列命题的真假：

2222（1）若xy,则xy; （2）若xy,则xy; （3）若x1,则x21; （4）若x1,则x1

二、讲授新课

1.预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P9～P11的内容，回答下列问题．

(1)判断教材的两个命题的真假，并思考：

①当x>a2＋b2成立时，一定有x>2ab成立吗？

提示：一定有x>2ab成立．

②当ab＝0成立时，一定有a＝0成立吗？

提示：不一定，也可能b＝0．

(2)阅读教材

“思考”的内容，并思考：

①若p成立，一定有q成立吗？

提示：一定有q成立．

②若q成立，一定有p成立吗？

提示：一定有p成立．

2.推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pq”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pq”. 用推断符号“和

”写出下列命题：⑴若ab，则acbc；⑵若ab，则acbc；2

3．充分条件与必要条件

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．

如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“pq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即qp）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即

pq且qp；

（2）充分不必要条件，即pq且qp；

（3）必要不充分条件，即pq且qp；

（4）既不充分又不必要条件，即pq且qp．

4．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义

（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合AB是指

xAxB。这就是说，“xA”是“xB”的充分条件，“xB”是“

xA”的必要条件。对于真命题“若p则q”，即pq，若把p看做集合A，把q看做集合B，“pq”相当于“AB”。

三、例题

例1：指出下列命题中，p是q的什么条件．

⑴p：x10，q：x1x20；

⑵p：两直线平行，q：内错角相等；

⑶p：ab，q：a2b2；

⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

四、课堂练习

指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；

(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，

而(x－1)(y－2)＝0

(x－1)2＋(y－2)2＝0，

四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形∴p是q的充分不必要条件．

五、课堂小结

1．充分条件的意义；

2．必要条件的意义．

六、课后作业：