数学活动 教学实录

9.1.2不等式的性质（第一课时）

【教学目标】

1．经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质；

2．能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；

3．通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性．

【重点、难点】

重点：探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形

难点：不等式的基本性质3的理解和熟练运用；

【教学设计一】

一、创设情境，复习引入

问题1：（

抢答题

）

请直接说出下列不等式的解集：

x36，2x8，x20；

你还能直接说出不等式2xx1的解集吗？

32师生活动：学生抢答，教师总结，前面三个不等式的解集可以直接想出，它们分别是x3，x4，x2.其中第四个不等式的解集就相对较难了.而要直接想出最后一个不等式2xx1的解集，就更难了.那么解这样的不等式有没有一个具体的方法呢？若解方程322xx1，你会吗？

32我们知道解方程的步骤是根据等式的性质，那么不等式是否也有类似的性质来帮助我们求解复杂的不等式呢？

设计意图：利用抢答题调动学生的学习兴趣，创设由简到繁的不等式，让学生感觉到直接想出不等式解集开始有难度，学生感觉到知识不够用了，此时再引导学生复杂的方程是怎么解决的，从而自然地让学生联想到对知识进行迁移，激发学生对不等式性质的求知欲，引出本节课的课题. 问题2：什么是等式？等式的基本性质是什么？（抢答题）

接下来我们一起来探索不等式的性质；

设计意图：复习等式的性质，为类比得出不等式的性质做好铺垫，为化解本课的难点做必要的准备工作. 二、师生互动，探索新知

不等式是否有与等式相类似的性质？

估计学生会猜：

1.不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式. 2. 不等式两边都乘或除以同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式. 教师引导：“＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化.为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算开始. 问题3：用“”或“”填空，并总结其中的规律. （1）53，则52 32，52 32；

（2）13，则12 32，13 33；

你能换几个数来验证发现的规律吗：

总结：当不等式两边加或减去同一个数（正数或负数或0）时，不等号的方向

；

不等式的性质1: 不等式两边加(或减)去同一个数（式子），不等号的方向不变. 问题4：你能类比等式的性质2，猜测不等式还有什么性质吗？

你能类比上面的探索方法，自己举出实例和小伙伴一起验证你们的猜想吗？

师生活动：让学生自己列举不等式，选取一些数，加以运算，在小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况.选取一些典型的例子引导学生通过分析、比较探索规律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3. 性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变. 设计意图：不等式的性质2、3完全放手让学生自主探索，让学生类比等式的性质2和不等式的性质1的研究过程，经历猜想、验证、纠错、归纳、完善的思考过程.教师要及时发现学生自主探索中的问题，并组织学生共同讨论典型问题，突破难点. 把上面的数字用字母a，b，c代替，你能写出一般规律吗？

归纳出不等式的性质的符号表示. 不等式性质1：如果ab，那么acbc；

ab；

）ccab不等式性质3：如果ab，c0，那么acbc（

或）；

cc不等式性质2：如果ab，c0，那么acbc（

或设计意图：从特殊到一般，从具体到抽象，归纳出不等式的性质，培养学生对知识的总结归纳能力，提高思维能力.在品尝成功的喜悦中激发学习兴趣.学生用语言概括结论，培养学生的数学语言表达能力及抽象概括能力.用符号语言表示不等式的性质，让学生体会用字母表示数的优越性.发展学生文字语言与符号语言相互转化的能力. 问题5：比较不等式的性质2和性质3，指出它们有什么区别.再比较等式的性质和不等式的性质，它们有什么异同？

师生活动：师生合作探究：逐条完成表格的内容.

设计意图：利用表格进一步加深对不等式性质的理解.帮助学生用类比的方法来记忆与学习. 三、练习巩固，

深化新知

1．设ab，用“”“”号填空，并说明依据不等式的哪条性质；

(1) a2 b2；a



(2)3

b



；

3a(3) 4a 4b；

(4)

2(5) 1.5a1 1.5b1；

b

；

2学生活动：（1）-（4）学生独立完成.（5）小组讨论. 2．用“”“”号填空，并说明依据不等式的哪条性质；

(1) 若a39，则

a 12；

1

(2) 若a1，则

a 4；4(3) 若a10，则

a 10；

1

(4) 若2x10，则

x ；2师生活动：学生完成填空，教师追问理由. 3.由不等式ax＞b可以推出x＜A、a≤0 B、a＜0 C、a≥0 D、a＞0 设计意图：练习1、2由浅入深，进一步帮助学生理解不等式的性质，为下面利用不等式性质解不等式做准备.练习3逆用不等式的性质，让学生进一步理解不等式性质，体会学习不等式性质的必要性. 四、总结反思、共同提高

1．不等式的性质有几条，分别是什么?不等式的性质与等式性质的联系和区别是什么? 2．在应用不等式的性质进行变形时，应注意什么问题？

3．回顾不等式性质的得出过程，你学到了什么思想方法? 强调：在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以或除以（除数不为0）同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式的性质2还是用不等式的性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题. b，那么a的取值（ ）

a

设计意图：通过3个不同层面的问题引导学生对本节知识进行梳理，使学生掌握不等式的性质. 五、布置作业

必做：课本

习题9.1第4,6题 选作：（1）复习题9第5题. （2）比较-a与-2a的大小. 【目标检测】

1.下列不等式变形正确的是

（ ）

A.由4x- 1≥0得4x>1 B.由5x>3 得 x>3 C.由y>0得 y>0 D.由-2x<4得x<-2 22.已知x

（ ）

①x-3 -3y +2 A.①② B.①③ C.①④ D.②③

3.利用不等式的性质，填”>”,<”

(1)若a>b,则2a+1

2b+1;

(2)若-1.25y<10,则y

-8; (3)若a0,则ac+c

bc+c;

(4)若a>0,b<0,c<0,则(a-b)c

0. 【板书设计】

9.1.2不等式的性质

不等式的性质1：

性质2：

性质3：

【反思与评价】

本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程．用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段．让学生充分进行讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握不等式的性质．这样就能有效地突破本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础．

本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法.培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯.利用学生的好奇心设疑、解疑，鼓励学生大胆积极参与，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容.力求在整个探究学习的过程中充满师生交流、生生交流以及互动. 为了突破教学难点，让学生能熟练准确地运用“不等式性质3"，本课设计了多样化的练习以巩固所学知识．在学生回答、板演、讨论的过程中，课堂气氛被激活，教学难点被突破，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握性质并灵活运用．同时，学习伙伴之间进行了思维的碰撞和沟通．

【拓展资料】

不等式走亲戚之初次见面

话说这一天，不等式带着她的兄弟姐妹a＞b、a＜b和a≠b敲开了等式家的大门，等式

a＝b出门一看觉得十分奇怪：“你我非亲非故，来此做甚？”

不等式面带笑容，自我介绍说：“我们是不等式家族的，与你等式家族初看虽然似一对‘冤家’，但事实上却是貌离神合的啊！”

等式莫名其妙，心想貌合的还常会神离，哪有貌离而能神合的呢，她上下打量着不等式，不解地问：“这怎么可能呢？ 不等式依然笑容满面，耐心解释说：“只要将你们身上的等号‘＝’换成不等号‘＞’或‘＜’或‘≠’，等式就变成了不等式；而将我们身上的不等号换成等号，不等式就变成等式了.”

“说的倒也是.”等式开始觉得不等式中确有等式的影子，可她还是将信将疑，说“我们等式家族中有三大部落，像3＋2＝5，6a－a＝5a这种无论如何总是相等的名叫恒等式；2像3x＋2＝5只有当x＝1时才相等的叫做条件等式；像x

＋1＝0无论如何也不可能相等

的叫做矛盾等式.而你们不等式家族中可有类似的部落？”

“有.”不等式说，“不等式家族中也恰好划分为三大部落，像3＞2，－5＜0，0≠1 这样的不等式叫做绝对不等式；像3x＋2＜5只有当x＜1才成立的不等式叫做条件不等式；

2像5＞6，3＋2≠5，x＋1＜0这样的不等式叫做矛盾不等式.”

“真没想到你们不等式与我们等式竟然有如此巧合之处.”等式感叹道. “更为巧合的还在后头呢.”不等式说，“比如我们不等式家族中的族规：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号方向不变；而你们等式家族中也有类似的‘等式两边都加上或减去同一个数，等号方向不变’是吧？”

“不错，确有此规.”等式回答说. “再说我们不等式的第二条、第三条族规：不等式两边都乘以或除以同一个正数，不

等号方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变.”不等式说到

这后反问道：“你们等式是不是也有类似的族规呢？”

等式的回答：

“这好像没听说过？”等式有些含糊，说，“我们类似的族规是：‘等式两边都乘以或除以同一个非零的数，等式仍然成立.”

“你说的没错，这是你们等式的第二条家规.”不等式说，“但我把它说成：‘等式两边都乘以或除以同一个正数，等号方向不变；等式两边都乘以或除以同一个负数，等号方向要改变.’可以吗？

等式想了想，说：“等号方向变与不变岂不是都一样吗？看来你我真是沾亲带故的啊.”