多边形的外角和优质课一等奖教案

5．三角形内角和定理（第2课时）

教学目标：

1.掌握三角形外角的两条性质；

2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．

3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。

5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣．

教学过程

第一环节：情境引入

活动内容：

在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．

活动目的：

引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

注意事项：

教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。

第二环节：探索新知

活动内容：

①

三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，

结合图形指明外角的特征有三：

(1)顶点在三角形的一个顶点上．

(2)一条边是三角形的一边．

(3)另一条边是三角形某条边的延长线．

②

两个推论及其应用

由学生探讨三角形外角的性质：

问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

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问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

由学生归纳得出：

推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

推论

2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．

求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°

分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．

证明：(略)．

例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)∠BFD度数．

解：(略)．

活动目的：

通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．

第三环节：课堂练习

活动内容：

（1）

已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC 分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

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∴∠B=1∠EAC（等式的性质）

2A E D ∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）

B ∴∠DAE=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

想一想，还有没有其他的证明方法呢？

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证. C 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

∴∠C=∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

∴∠C=1∠EAC（等式的性质）

21∠EAC

2∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAC=∴∠DAC=∠C（等量代换）

∵∠B+∠BAC+∠C=180°

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°

即：∠B+∠DAB=180°

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

②

已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠2．

E A D 2 C 1 B F

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证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）

∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）

∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠1>∠2（不等式的性质）

③.如图，求证：（1）∠BDC>∠A. （2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角. ∴∠1>∠3. ∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）

即：∠BDC>∠BAC. （2）连结AD，并延长AD，如图.

则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角. ∴∠1=∠3+∠B

∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

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证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图. 则∠BDC是△CDE的一个外角. ∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）

∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠BDC>∠A（不等式的性质）

（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角. ∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠DEC是△ABE的一个外角

∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）

活动目的：

让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．

注意事项：

学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。

第四环节：课堂反思与小结

活动内容：

由学生自行归纳本节课所学知识：

推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

推论

2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

活动目的：

复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力．

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注意事项：

学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。

课后练习：课本第244页的随堂练习第1题，习题6.7题第1，2，3题。

思考题：课本245页第4题（给学有余力的同学做）

四、教学反思

教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。

本节课的教学设计力图具有以下几个特色：

（1）充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；

（2）从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；

（3）在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学***热情。

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