反证法教学目标

反证法教学设计

一、教学目标

1.知识与能力

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力. 2.过程与方法

了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 3.情感、态度、价值观

培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力.让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感. 二、教学重点与难点

重点：1、理解反证法的概念. 2、掌握反证法证题的步骤及体会反证法证明命题的思路方法

3、能利用反证法证明相关的数学问题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

三、学法指导

通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，总结反证法证题的基本步骤。反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会. 四、【教学过程】

一、引入新课

上节课我们学习了用 ， 直接证明问题的方法。一般的，我们用综合法来书写过程，用分析法来书写步骤，那么还用没有其他的证明方法呢？

2、情景创设-----王戎的故事

王戎(生于魏青龙元年，卒于晋永兴二年，233-305)字睿冲，琅琊临沂人。晋司徒、封安丰县侯，出身魏晋高门琅琊王氏。他是”竹林七贤”之一. 小故事-----《路边苦李》 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得

把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。

小伙伴问王戎:“这就奇怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”

假如你就是王戎，应该如何回答

？

【设计意图】通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。

王戎运用了怎样的推理方法?

二、探究新知

反证法是间接证明的一种基本方法。

（1）反证法定义：

假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾因此说明假设不成立，从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

（2）反证法证题的基本步骤：

1．假设原命题的结论不成立；（假设）

2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

三、理解新知

例1、

写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. 【设计意图】能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障

求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设结论不成立，即：∠A___ 60°, ∠B __60°,∠C __ 60°,则∠A+∠B+∠C＞180 °.这与___________________相矛盾. 所以______不成立，所求证的结论成立. 变式练习: 用反证法证明命题：三角形内角中，至少有一个不大于 60°时.假设正确的是 （ ） A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60°

C.假设三内角至少有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60°

常用的互为否定的表述方式：

至少有一个_______ 至少有三个________

至少有n个________ 最多有一个________ 【设计意图】理清至多和至少弄清反设词，为用反证法证明做好铺垫。

准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. 结论词 不等于

不是

都是（全是）

大于

小于

p且q

对所有x,成立

四、运用新知

1.ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证：B例对任何x，不成立

p或q

至多有n个

至少有n个

至多有一个

至少有一个

反设词 结论词 任意的

反设词 2.

【设计意图】：本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，反正更简单，让学生明确用反证法证明问题的基本步骤。

211练习.已知非零实数a,b,c两两不相等，且2ba+c，求证：+不成立.bac【五】巩固提高

x2(a1),证明方程f(x)0没有负实根.x1【设计意图】由于上一章学习的函数，希望学生利用反证法解决函数问题，尤其是解决零点问题

例2.已知f(x)ax方法---求单调性来找矛盾. 练习.已知x,y0,且xy2。求证：1x1y,中至少有一个小于2.

yx【设计意图】：结论中含“至少”，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法.

五、课堂小结

1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? 2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 其中导出矛盾是关键，常见的归缪矛盾：

（1）与已知条件矛盾；

（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾. 引用英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：归谬法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！点题总结. 六、作业

课本91页A组1（存在唯一性问题）、4 七、

板书设计

练习

反证法

步骤： 典例

例1

练习

例2 练习