反证法优质课教案推荐

反

证

法

合阳中学

李福才

教学目标

知识与技能

⑴通过实例，体会反证法的含义．

⑵了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．

过程与方法

提出问题，引出反证法，学生初步认识体会反证法，然后运用反证法证明，进一步体会和理解反证法．

情感态度与价值观

利用现实生活和数学中的反证法素材和具有挑战性的情景，激发学生求知探索的欲望．

教学重点：运用反证法进行推理论证．

教学难点：反证法的证明思路．

一、情景引入

如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：

由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知

a2 +b2 ＝c2 . 二、自主探究

1.问题：若将上面的条件改为“在△ABC中，

AB=c，BC=a，

AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2

成立吗？请说明理由．

探究：假设a2 +b2 ＝c2，

由勾股定理可知△ABC是直角三角形，∴∠C=90°，

C

这与已知条件∠C≠90°矛盾。

∴假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2

成立。

2．自我阅读课本第94页的内容，并思考什么是反证法？

3．小组讨论，归纳反证法的基本过程

4.发现知识

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法．

归纳小结

反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确．

AAbbccBaCaC

三、应用新知

例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C

证明：假设

，

则

（

）

这与

矛盾．

假设不成立．

∴

．

例2：已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.

求证：a//b

证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A, 那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，

这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知

直线平行矛盾,假设不成立。

∴a//b.

注意：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

例3：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．

已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°

证明：假设

，

则

∴

，

即

．

这与

矛盾．假设不成立．

∴

．

注意：温馨提示：至少的反面是没有！

例４、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．

分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：

(1)两个底角都是直角；

(2)两个底角都是钝角；

ABCabcA

（1）由∠A=∠B=90°

则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°，

这与三角形内角和定理矛盾，

∴∠A=∠B=90°这个假设不成立. （2）由90°＜∠B＜180°，

90°＜∠C＜180°，

则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾

.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立．

故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角.

说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.

四、回顾与归纳

反证法的一般步骤：

假设结论的反面正确

推理论证

（定理、公理）得出矛盾（已知）

得出结论

命题正确假设不成立，原命题成立。

反设

归谬

结论

注意：反证法通常在什么情况下使用呢？

在直接证明命题比较困难的情况下，通常考虑使用反证法这种间接证法解答．

五、展示交流

争奇斗艳

１．写出下列各结论的反面：

（1）a//b；

（2）a≥0；

（3）b是正数；

（4）a⊥b．

五、课堂练习

A2.已知：如图△ABC中，D、E两

点分别在AB和AC上

D

求证：CD、BE不能互相平分

证明：假设CD、BE互相平分

E连结DE，故四边形BCED是平行四边形

∴BD∥CE 这与BD、CE交于点A矛盾

BC假设错误，

∴CD、BE不能互相平分

六、迁移应用

1、试说出下列命题的反面：

（1）a是实数

（2)a大于2

（3）a小于2

（4）至少有2个

（5）最多有一个

（6）两条直线平行

2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是

．

3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步

4．求证：两直线平行，内错角相等

已知：，AB//CD，

求证：∠AOP=∠DOP. 证明：假设∠AOP≠∠DOP，

过点O作直线MN，使∠MOP=∠DOP，∴MN∥CD，

∵ AB//CD，∴过点O就有两条直线与CD平行，

∴这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，

∴假设∠AOP≠∠DOP不正确，

∴∠AOP=∠DOP.