等腰三角形的判定与反证法公开课教案

课题

教

学

目

标

教学重点

教学难点

授课类型

教具

教学步骤

第3课时

等腰三角形的

授课人

判定与反证法

1.证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性．

知识技能

2．会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.

数学思考

培养合作探究意识和逆向思维能力.

初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命问题解决

题.

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

情感态度

等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义.

运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.

新授课

课时

课件、三角尺、等腰三角形纸片

教学活动

师生活动

回答下列问题．

问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？

(学生口答) (1)等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”．

(2)“三线合一”．

(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．

问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？

【课堂引入】

前面我们已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你有几种证明的方法？

设计意图

回顾

设计成问题串不但是检测学生对上节课内容掌握的情况，而且也为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔.

活动

一：

创设

情境

导入

新课

提出问题，设疑导入. 活动

二：

实践

探究

交流

新知

【探究1】

等腰三角形的判定

已知：如图1－1－84，在△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC. 图1－1－84 证明一：

如图1－1－85，作顶角的平分线AD，则∠1＝∠2.

先由小组讨论写出已知与求证，并写出验证方案，教师组织学生进行交流，再让小组代表在黑板上演练.

∠B＝∠C（已知），在△BAD和△CAD中，∠1＝∠2（已知），

AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD(AAS)，

∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．

图1－1－85

让学生明确用综合法证明本结论是行不通的，从而产生要探究一种新方法的欲望，结合课本中小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中出人意料的作用. 图1－1－86 证明二：

如图1－1－86，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△BAD和△CAD中，∠ADB＝∠ADC（辅助线的作法），

∠B＝∠C（已知），AD＝AD（公共边），

∴△ABD≌△ACD(AAS)，

∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称为“等角对等边”) 【探究2】

反证法

在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

图1－1－87 如图1－1－87，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.“∠C＝∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 方法总结：先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．

“反证法”的一般步骤：

(1)假设：假设结论的反面正确；

(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；

(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确

.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

例1

已知：如图1－1－88，AB＝DC，BD＝CA. 求证：△AED是等腰三角形．

图1－1－88 例2

用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．

【拓展提升】

例3

已知：如图1－1－89，△ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点M，MD＝ME.求证：△ABC是等腰三角形．

给学生独立思考时间，再讨论交流，教师要适当引导，进一步规范学生推理过程的书写．

通过本例题，让学生初步感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用．

活动

三：

开放

训练

体现

应用

图1－1－89

例4

已知在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，∠C＝72°，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角形ABC分成两个等腰三角形？成功后，如果再添一条线，能多得到一个等腰三角形吗？还可以继续吗？

运用本课所学重点内容进一步加强学生演绎推理证明的能力. 活动

四：

课堂

总结

反思

图1－1－90

例5

求证：在一个三角形中，至少有两个内角是锐角．

【当堂训练】

1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 2．如图1－1－91，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(

)

进一步巩固所学新识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.

图1－1－91

A.30° B．45° C．60° D．90°

3．用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60°，应先假设这个三角形中(

) A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°

4．如图1－1－92，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，交AB，AC于点M，N.求证：MN＝BM＋CN.

图1－1－92 【板书设计】

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

二、探究新知

1．等腰三角形的判三、应一、复习导入

等腰三角形的性质

定

用拓展

2．反证法

【教学反思】

①[授课流程反思] 本节课利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的判定定理．在从“等边对等角”过渡到研究“等角对等边”的过程中发展了学生的逆向思维能力，并且学生在证明这一命题时也采用了类比的研究方法；在反证法的学习过程中，学生通过辩论的方式发现了反证法具有意想不到的说理效果，课堂气氛十分活跃. ②[讲授效果反思] 本节课的设计力求实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，让学生在活动中获得知识、形成技能和能力；在教法上采用启发探索式教学模式，整堂课以问题为思维主线，让学生自己去观察、思考、发现、表达，培养学生获取信息、提出问题、分析问题、解决问题、自我反思的能力．

③[师生互动反思] 课堂教学中注重学生的体会与感悟，尽量多的让他们展示自己的体会，关注学生间的评价，特别是在反证法教学时，学生参与积极，气氛活跃，效果很好．

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提纲挈领，重点突出. 反思，更进一步提升.