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立体几何

一、空间向量

(若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2))

&三、常见的线线垂直：

（1）等腰三角形（或等边三角形）三线合一定理

（2）长方形或正方形邻边互相垂直，正方形或菱形的对角线垂直

（3）圆中直径所对的圆周角是直角

（4）三角形中勾股定理的逆定理

（5）若已知线面垂直，则可以得出线线垂直(线面垂直性质) （6）直棱柱、正棱柱、正方体、长方体等隐含了侧棱垂直上下两个底面，再出线线垂直

（7）已知面面垂直，则可以得出线面垂直(面面垂直性质) （8）利用向量垂直，可以线线垂直

1、向量的数量积数量积：ababcosa,bx1x2y1y2z1z2；向量的数量积是

数量

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abab

投影: 向量b在a方向上的投影为

|b|cosb

aabx1x2y1y2z1z2ab2、向量的夹角公式：cosa,b；

222222abx1y1z1x2y2z223、模

aaaa2

|a|aax1y1z1

2224、平行：a//b(b0)存在唯一的实数，使得abx1x2,y1y2,z1z2

5、两个向量垂直的充要条件：ababx1x2y1y2z1z20；

二、立体几何

1、线面平行判定：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

符号表示：l//a,l,al//

2、面面平行判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行

符号表示：a//,b//,abA//

3、线面垂直判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号表示：la,lb,abA,l

4、线面垂直性质：一条直线与一个平面垂直，则该直线与此平面的任意直线都垂直．

符号表示：l,ala,

5、面面垂直判定：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．

符号表示：l,l

6、面面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

符号表示：,l,a,ala

7、l,l//

8、a,ba//b

9、a//b,ab

四、

利用空间向量证明平行，垂直，求角度和距离 （将向量作为一个工具）

向量法的首要条件是已知一条直线与一个平面垂直，否则不能建系

直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面，的法向量分别为m,n

1.直线与直线所成的角

①范围：[0,] ②求法：coscosa,b

22. 直线和平面所成角

①范围：[0,] ②求法：sincosa,m

23. 二面角

①范围：[0,] ②求法：coscosm,n

4、点到平面的距离的求法:

平面的法向量为m，点A在平面α内，点B在平面α外，ABm则点B到平面α的距离为

m

高三理科数学1

例1、【2013，18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. 行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

证明：(1)取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB，所以OC⊥AB. 由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C. 又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C. (2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB. 又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．

以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. 解：（I）因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BD3AD.

从而BD2AD2AB2，故BDAD.

又PD底面ABCD，可得BDPD.

所以BD平面PAD. 故PABD.

（II）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1,0,0，B0,3,0，C1,3,0，P0,0,1，AB1,3,0，PB0,3,1，BC1,0,0

nAB0x3y0设平面PAB的法向量为nx,y,z，则，即.

nPB03yz0zP因此可取n3,1,3.

DCBAmPB0设平面PBC的法向量为m，则，可取m0,1,3.

xmBC0y

由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．

则BC＝(1,0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)，AC1＝(0，3，3)．

cosm,n42727.

7故二面角APBC的余弦值为

高三理科数学2 BCnBC0,x3z0,设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即可取n＝(3，nBB10,x3y0.1，－1)．

故cos〈n，AC1〉＝27.

7nAC1nAC1＝10. 510. 5P所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为

例2、【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平DA

例3、（2017·19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，1AD，BADABC90o，

E是PD的中点. 2①证明：直线CE//

平面PAB；

ABBC②点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45

，求二面角M-AB-D的余弦值

o6,1)，

2mn所以cosm,n|m||n|令z1，则m(0,1(622)1210所以求二面角MABD的余弦值. 5

10，

5例4、（2014·18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（1）证明：取PA中点为F，连接EF、AF，

因为BADABC90，BC因为E是PD的中点，所以EF（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60º，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积. 1AD所以BC21AD，

2

1AD，所以EFBC，

2所以四边形EFBC为平行四边形，所以EC//BF，

因为BF平面PAB，EC平面PAB，所以直线CE//平面PAB，

（2）取AD中点为O，连接OC、OP，因为△PAD为等边三角形，所以POAD，

因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，

所以PO平面ABCD，

因为AOBC，所以四边形OABC为平行四边形，所以AB//OC，所以OCAD，

以OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图

设BC1，则P(0,0,3),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0)，所以PC(1,0,3)，

设M(x,y,z)，则PM(x,y,z3)，AB(1,0,0)，

因为点M在棱PC上，所以PMPC(01)，即(x,y,z3)(1,0,3)，

所以M(,0,33)，所以BM(1,1,33)，

平面ABCD的法向量为n(0,0,1)，

因为直线BM与底面ABCD所成角为45，

所以|sin45||cosBM,n|

（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结OE．∵底面ABCD为矩形，

∴点O为BD的中点，又E为PD的中点，∴OE//PB，∵OE平面AEC，PB平面AEC，∴PB//平面AEC. （Ⅱ）以A为原点，直线AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设ABa，则D(0,，3,0)A(0,0,0)，PEABCE(0,设3131,)，C(a,3,0)，∴AE(0,,)，AC(a,3,0)，2222n(x,y,z)是平面AEC的法向量，则D|BMn||33|2，

222|BM||n|(1)1(33)12a31yxyz0nAE3，令x3，得n(3,a,3a)，

，解得：22z3ynACax3y0又∵AB(a,0,0)是平面AED的一个法向量，∴|cosAB,n|解得a262,1,)，

解得1，所以BM(222ABmx0设平面MAB的法向量为m(x,y,z)，则，

26xyz0BMm221cos60，

2a34a23a3，

2113212∴VEACD|AD||CD||AP|高三理科数学3 113133. 32228