习题1.2名师教学视频（文字实录）

普通高中课程标准实验教科书数学（人教A版）必修

2-1

1.2.2充要条件教学设计

一、教学目标及其解析

（一）教学目标：

1、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

2、正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （二）解析：

教科书结合实例给出推断符号“”和等价符号“”，并引出充分条件、必要条件与充要条件的概念．它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一．在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件．学习本节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系，本节所讲的充分条件、必要条件与充要条件中的p、q与四种命题中的p、q内容是一致的，即它们可以是简单命题，可以是不能判断真假的语句，也可以是“若p则q”形式的复合命题，但本节中，一般只要求p、q是简单命题，而不作更深的讨论．

二、教学重难点解析

（一）重点、难点：

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

（二）解析：

为突破本节课重难点，应在教学中做好以下分析：

重点分析：

（1）理解充要条件及充分不必要条件、必要不充分条件的概念；

（2）能利用命题与集合观点正确判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件；

（3）充要条件命题的证明。

难点分析：

（1）正确运用“条件”的定义解题

(2) 从命题与集合观点理解充分条件、必要条件与充要条件；

（3）充要条件命题的证明。

三、教学过程设计 问题1：已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ 分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p． 易知：pq，故p是q的充分条件； 又q  p，故p是q的必要条件． 此时,我们说, p是q的充分必要条件

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问题2：结合问题1，说说什么是充要条件？

一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）．显然，如果p是q充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件．

问题3：下列各组命题中，p是q的什么条件：

1)

p：

x是6的倍数。

q：x是2的倍数

2)

p：

x是2的倍数。

q：x是6的倍数

3)

p：

x是2的倍数，也是3的倍数。q：x是6的倍数

4)

p：

x是4的倍数

q：x是6的倍数

总结：1) pq 且q≠> p 则

p是q的充分而不必要条件

2) qp 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件

3) pq 且qp 则q 是p的充要条件

4) p≠>q 且q≠>p则

p是

q的既不充分也不必要条件

强调：判断p是q的什么条件，不仅要考虑pq是否成立，同时还要考虑qp是否成立。

且p是q的什么条件，以上四种情况必具其一.

典型例题分析

例1、（课本例3）下列各题中，那些p是q的充要条件．

（1）p：b＝0，

q：f(x)ax2bxc是偶函数；

（2）p：x＞0,y＞0，

q：xy＞0；

（3）p：a＞b，

q：a＋c＞b＋c；

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p． 解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；

充分条件、必要条件、充要条件的判断

1.定义法

定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要条件．其基本步骤是：

例2、（优化）(1)(2013·高考福建卷)设点

P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]

若x＝2且y＝－1，则x＋y－1＝0；反之，若x＋y－1＝0，x，y有无数组解，如x＝3，y＝－2等，不一定有x＝2且y＝－1，故选A. [答案]

A 2．等价转化法

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等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：

(2)已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．

[解析]

綈p：x＝2且x＝3，q：x＋y＝5.可知p⇒q，而qp.所以q是p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．

[答案]

必要不充分

3．集合法

集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：

(3)已知M＝{x|(x－a)＜1}，N＝{x|x－5x－24＜0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．

[解]

由(x－a)2＜1，得a－1＜x＜a＋1. 由x2－5x－24＜0，得－3＜x＜8. ∵N是M的必要条件，

∴M⊆N. a－1≥－3，于是

a＋1≤8，从而可得－2≤a≤7. 故a的取值范围为[－2,7]．

例3、（课本例4）已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

（分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq ）和必要性（qp）即可．）

证明过程：

（1）充分性pq

（2）必要性qp 证明]

如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d. (1)充分性：若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ，在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r.所以除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P，因此直线l与⊙O相切．

(2)必要性：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l，因此d＝OP＝r. 所以d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

方法归纳

要证明充要条件，就是要证明两个，一个是充分条件，另一个是必要条件；要证明必要不充分条件，就是要证明一个是必要条件，另一个是不充分条件；要证明充分不必要条件，就是要证明一个是充分条件，另一个是不必要条件．

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四.课堂检测（课本12页练习1、2、）

1、下列“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？

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（1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行。

（2）若数列an的通项公式是annc（c是常数），则数列an是公差等于1的等差数列

（3）若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a与平面垂直. 2、下列命题中，p是q的什么条件？

（1）p: x3x4,

q:x3x4

（2）p: x30

,

q:(x3)(x4)0

（3）p: b24ac0(a0)

,

q:ax2bxc0(a0)有实数根

2（4）p: x1是方程axbxc0的一个根

,

q:abc0

2五.课堂小结

(1)定义回顾：

①若pq ,但q 

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p 

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p 

q，且q 

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)判别步骤：

①找出p、q；②判断pq与qp的真假．③根据定义下结论．

（3）充要条件问题的证明须先分清条件与结论，再证充分性与必要性。

六、课后作业

1.下一课时前置作业

2.优化方案：课本P12：2\3\4

3.优化方案：

6．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．

解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y.而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y

lg x>lg y. 答案：充分不必要

7．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．

解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即AB. 又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，

所以A是B的必要不充分条件．

答案：必要不充分

8．下列不等式：

①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．

解析：由于x2＜1，即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．

答案：②③④

9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．

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(1)p：f(x)是周期函数，q：f(x)是正弦函数；

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(3)p：四边形是矩形，q：四边形的对角线互相平分；

(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2. 解：(1)∵f(x)是周期函数f(x)是正弦函数，但由f(x)是正弦函数⇒f(x)是周期函数，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，

△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，

∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

(3)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

四边形的对角线互相平分四边形是矩形，

∴p是q的充分不必要条件．

(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，|c|即r＝22，

a＋b∴c2＝(a2＋b2)r2；

|c|反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则22＝r成立，

a＋b说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，

即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，

故p是q的充要条件．

10．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．

解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，

∵x∈P是x∈Q的必要条件，即Q⊆P，

a－4≤1，∴解得－1≤a≤5. a＋4≥3，∴实数a的取值范围是[－1,5]．

[高考水平训练] 21．已知p：x－x＜0，那么命题p的一个必要非充分条件是(

) A．0＜x＜1

B．－1＜x＜1 121C.＜x＜

D.＜x＜2 2322解析：选B.x－x＜0⇔0＜x＜1，运用集合的知识易知．

A中0＜x＜1是p的充要条件；

B中－1＜x＜1是p的必要条件；

12C中＜x＜是p的充分条件；

231D中＜x＜2是p的既不充分也不必要条件．应选B. 22．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．

解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)

＜0}，故有a＞2. 答案：(2，＋∞) 3．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．

1解：当a＝0时，x＝－符合题意．

2当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0，

当a＞0时，若Δ＝4－4a≥0，

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{x|(a＋x)(1＋x)

则a≤1，即0＜a≤1. 当a＜0时，∵f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，

∴方程恒有负实数根．

综上所述，a≤1为所求．

334．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”24的充分条件，求实数m的取值范围．

337解：y＝x2－x＋1＝(x－)2＋，

241637因为x∈[，2]，所以≤y≤2. 4167所以A＝{y|≤y≤2}．

16由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

所以B＝{x|x≥1－m2}，

因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

7所以A⊆B，所以1－m2≤，

1633解得m≥或m≤－，

4433故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．

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