习题2.4优质课教案

2018届复习题 抛物线

试题命制

：试题通过与圆锥曲线相关点的位置的设计，使得对圆锥曲线的概念、标准方程和几何性质的准确理解和应用成为考查的重点，并使运算量得以控制，把文字语言描述转化为图形，也是考生对概念准确理解的反映。试题通过构造直线与圆锥曲线相交（交点与弦长问题，是基本要求），创设利用解析法、向量法或几何法解决与圆锥曲线有关的几何问题的环境，使不同基础和能力的考生得到不同的解题思路和方法，也使解析几何的思想方法在解题中得以完整展示。试题注重通性通法的考查。

2007辽宁理已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心），圆C的方程_____________________

2009山东文10、设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A.y24x B.y28x C. y24x D. y28x

aa【解析】: 抛物线y2ax(a0)的焦点F坐标为(,0),则直线l的方程为y2(x),44a1aa它与y轴的交点为A(0,),所以△OAF的面积为||||4,解得a8.所以抛物2242线方程为y28x,故选B （2010·陕西高考理科·Ｔ8）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6

x－7=01 (B) 1 (C) 2 (D) 4 2p【规范解答】选C

由y2=2px，得准线x，圆x2+y2－6

x－7=0可化为2p(x3)2y216，由圆心到准线的距离等于半径得：34,p2.

2相切，则p的值为（ ） (A) （2010·湖南高考理科·Ｔ5）

设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 解∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则PQ等于点P到焦点的距离，而PQ=6，

（2010·浙江高考理科·Ｔ13）设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________. 【规范解答】3pp2。抛物线的焦点坐标为F(,0)，FA中点B(,1)在抛物线上，424

122pp22，p2，B(，点B到,1)，抛物线的准线方程为x442该抛物线准线的距离为|223()|2. 424（2009海南宁夏卷文14）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P2,2为AB的中点，则抛物线C的方程为

。

【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，x1x2＝k＝2×2，故y24x.【答案】y24x

（2009海南宁夏卷理13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________. 解析：抛物线的方程为y24x，2y14x1Ax1,y1,Bx2,y2,则有x1x2，2y24x22两式相减得，y12y24x1x2，y1y241

x1x2y1y2直线l的方程为y-2=x-2,即y=x【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽

米.

【答案】26. 【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为x22py，带入点A得p1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x0,3)，则2x023,x06，所以水面宽度为26.

AFBF=32011辽宁理3

已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（

C ）

357

（A）4

（B）1

（C）4

（D）4

【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|（

B

）

A、22

B、23

C、4

D、25

p【解析】设抛物线方程为y2px2，则点M(2,2p)Q焦点,0，点M到该抛物线2p焦点的距离为3，

24P9，

解得p2，所以OM44223. 22y2011大纲理10

已知抛物线C：4x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B234两点．则cosAFB=(

)

A．5

B．5

43C．5

D．5

（2010·辽宁高考理科·Ｔ7）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=（ B ）

(A)43 (B)8 (C)83 (D) 16 【规范解答】选B.由抛物线方程y28x，可得准线l方程为：x2,焦点坐标F（2，0）设点A坐标为（-2,n）,

－3＝n0，n43 。∴P点纵坐标为43 222由，∴|PF|＝|PA|＝|6－（－2）|＝8，

（43）＝8x,得x=6，∴P点坐标为（6，43）2013年新课标Ⅱ卷数学（理）、设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,MF5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为（

C ）

A．y24x或y28x

B．y22x或y28x C．y24x或y216x

D．y22x或y216x

（2010全国2）已知抛物线C:y22px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直

线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若AMMB，则p ． 【解析】过B作BE垂直于准线l于E，∵AMMB，∴M为中点，∴BM斜率为3，BAE300，∴BE∴p2.

2014课标Ⅰ、已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP4FQ，则|QF|=( C

)

A.1AB，又21AB，∴BMBE，∴M为抛物线的焦点，

275

B.

C.3

D.2 22【解析】：过Q作QM⊥直线L于M，∵FP4FQ

QMPQ33∴，∴QM3，由抛物线定义知QFQM3

，又4PF4PF4PQ（2010·重庆高考理科·Ｔ１4）已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足AF3FB，则弦AB的中点到准线的距离为___________. 【规范解答】 因为AF3FB，所以弦AB是过焦点F的弦，且设点A，B到准线x1的距离分别是d1，d2，那么d13d2，

点A，B的横坐标分别是d113d21，d21，

22y4(3d1)y2所以A，B4(d21)，如图所示，

AF3FB；

所以4(3d21)34(d21)d1，解得d243，

所以123，根据梯形中位线的性质可得弦AB的中点14128()3. 到准线的距离为233【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为

【解析】由y24x可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为ktan603，利用点斜式，直线方程为y3x3，将直线和曲线联立A(3,23)y3x311123，因此SOAFOFyA1233．

222)B(,y4x33【2012高考真题安徽理9】过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF3，则AOB的面积为（

C

）

(A)2

(B)

22

(C)

32

(D)22

2【解析】设AFx(0)及BFm；则点A到准线l:x1的距离为3，

123，

得：323coscos

又m2mcos()m31cos21132232AOB的面积为SOFABsin1(3)。

222322014·新课标全国卷Ⅱ、设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(

) 33936393A

4

B.8

C.32

D.4

[解析] 抛物线的焦点为F4，0，则过点333F且倾斜角为30°的直线方程为y＝3x－4，即x＝3y＋4，代入抛物线方程得y2－3 93y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝3 99（33）2－4×－4＝4. 913，y1y2＝－4，则S△OAB＝2|OF||y113－y2|＝2×4×（2009天津卷理9）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比fy = y22gy = -126SBCF= SACF4241（A）

（B）

（C）

（D）

5372hx = -2x+3C4

2F: (0.51, 0.00)AF-10-55x=-0.5-2B

解析：由题知SBCFSACF1BC22xB1，

12xA1ACxA2xB又|BF|xB132xByB3

22由A、B、M三点共线有02xAyMyAyyB03即，故xA2，∴M3xMxAxMxB3xA32SBCF2xB1314，故选择A。

SACF2xA1415(2015·浙江高考理科·T5)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是

(

)

A. BF1AF122 B. BF1AF12 C. BF1AF1 D. BF1AF12

x2y2(2013·天津高考理科·T5)已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线与抛物线aby2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为3,则p=

(

C

)

A.1

B. 3 C.2

2

D.3 如图,A,B两点是双曲线的渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线pbppbp的交点,其坐标分别为A(,),B(,)，故△AOB的面22a22abp23,又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b2=c2-a2积为4a得b=3a,所以p=2. （2010·湖南高考理科·Ｔ4）过抛物线x22py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点，A,B在x轴上的正射影分别为D,C．若梯形ABCD的面积为

122，则p ．

【规范解答】设直线方程为y=x+p，结合x22py(p＞0)得到x2-2px-p2=0，

2(y1y2)|x2x1|而梯形的面积==122，∴p=2.

2【2012高考真题重庆理14】过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若525,AFBF,则AF=

.【答案】

12611【解析】抛物线y22x的焦点坐标为(,0)，准线方程为x，设A,B的坐标分别22AB11p21，设AFm,BFn，则x1m,x2n，为的(x1,y1),(x2,y2)，则x1x22244111(m)(n)555224所以有，解得m或n，所以AF. 646mn2512(2013·浙江高考理科·T15)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于

. 【解题指南】由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解. yk(x1),【解析】设直线l:y=k(x+1),由2消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0, y4x,2k24设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1·x2=1,设AB的中点Q(x0,y0), 2k2k22则x02,y0k(x01),因为|FQ|=2,F(1,0), kkk222所以214,所以k2=1,k=±1. kk22【2012高考真题辽宁理15】已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分2，别为4，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。【答案】4

【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别

为8,2. 由x22y,则y12x,yx,所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所2以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y4x8,y2x2,联立方程组解得x1,y4,故点A的纵坐标为4 2013安徽理13、已知直线ya交抛物线yx2于A,B两点。若该抛物线上存在点C，使得ABC为直角，则a的取值范围为___

[1,)_____。

【解析】

根据题意不妨A(m,m2),B(m,m2),C(x,x2),则ACBC

(xm,x2m2)(xm,x2m2)x2m2(x2m2)0m4(2x21)m2(x2x4)0（m2-x2）(m2x21)0m2x21[1,).所以a[1,)

2y2011重庆理15

设圆C位于抛物线2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________ 【答案】61

1)的距离与点P到2008宁夏理11．已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（

）

1A．，1 41B．，1

4C．(1，2)

D．(1，2)

/2009四川卷理9）已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是

A.2

B.3

C.1137

D.

516解析：直线l2:x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1:4x3y60的距离，即dmin|406|2，5故选择A。