1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二课时教学设计

普通高中课程标准实验教科书《

数学选修1-1》第一章第四节

课题：单位：教师：班级：

1.4.3含有一个量词的命题的否定

安徽省无为县第三中学

吴

炳

文 高二（10）班

1.4.3一、教材分析

含有一个量词的命题的否定

“含有一个量词的命题的否定”是数学选修1-1第一章第四节的内容，第一课时的主要内容是全称量词与存在量词的概念．第二课时主要是含有一个量词的命题的否定．它包括两块内容：其一是含有一个全称量词的命题的否定，其二是含有一个存在量词的命题的否定.教科书在分析“探究”中全称命题和特称命题时，并没有直接给出这些命题的否定的最终表述形式，而是根据全称量词和存在量词的含义，直接对原先的命题进行全盘否定，得到这些命题的否定的一种表述形式.需要强调的是，这些表述过于形式化，不自然也不符合日常语言表达的习惯，多以最后进一步将这些表述改写成常用的表述形式.为此，教科书在“探究”后的分析中，先后用了六个“也就是说”.这样处理一方面让学生体会如何用间接、自然的语言表达数学内容；另一方面，通过这些命题的否定的最终表述，学生很容易观察出原先的命题和它们的否定在形式上的变化，从而降低了学生的认知难度。

二、学情分析

本节内容是数学选修1-1,1-2 第一章

最后一课.本课题的重点是通过探究了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．难点是正确地对含有一个量词的命题进行否定．在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．通过学生的合作探究，培养培养他们的良好的思维品质和合作意识。

三、教学目标

1．

知识与技能

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）正确地写出含有一个量词的命题进行否定．

2．

过程与方法

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

3．

情感态度与价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

四、教学重点与难点

1．教学重点

通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．教学难点

正确地对含有一个量词的命题进行否定与否命题的区别．

五、教学方法：观察，思考，分析，合作交流及多媒体辅助教学。

六、教学过程设计

（一）设置情境引入新课：

1、什么叫做全称量词，全称命题？

短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词．用符号“∀”表示。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。简记为: ∀x∈M ,p(x) 2、什么叫做存在量词，特称命题？

短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“∃”表示。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。简记为：∃x0∈M,ㄱp(x0) 还有那些量词是全称量词或特称量词? 3. 经过前几节课的学习，想想命题的否定与否命题的区别？

否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.

命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断

,只否定结论不否定条件. 例如：命题“一个数的末位是0，则可以被5整除”.

否命题：若一个数的末位不是0，则它不可以被5整除；

命题的否定：存在一个数的末位是0，不可以被5整除. 4.判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）x∈R,

x2－2x＋1≥0；

（4）有些实数的绝对值是正数；

（5）某些平行四边形是菱形；

（6）

x∈R,

x2＋1＜0. 前三个命题都是全称命题，即具有

“∀

x

∈M，p（x）”的形式；后三个命题都是特称命题，即

“∃x ∈M，p（x）”的形式.它们命题的否定又是怎么样的呢？

这就是我们这节课将要学习的内容

. 教师板书课题：1.4.3含有一个量词的命题的否定

【设计意图】通过复习回顾，设置问题情境，让学生体会数学知识之间的联系，激发学生的学习兴趣，从而引入新课。

（二）探究新知

探究一：写出下列命题的否定：

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）x∈R,

x2－2x＋1≥0.

解：（1）并非所有的矩形都是平行四边形;

（2）并非每一个素数都是奇数；

（3）并非所有的x

∈

R，x2-2x+1≥0.

经过观察，我们发现，以上三个全称命题的否定都可以用特称命题表示. （1）存在一个矩形不是平行四边形；

（2）存在一个素数不是奇数；

（3）x0

∈

R，x02-2x0+1<0.

一般地

, 对于含有一个量词的全称命题的否定

, 有下面的结论: 结论一：全称命题p : x

∈M，p （

x），

它的否定ㄱp : x0

∈M,ㄱp （

x0 ）. 全称命题的否定是特称命题. 探究二：写出下列命题的否定：

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）

x∈R,

x2＋1＜0. 解:（1）不存在一个实数，它的绝对值是正数；

（2）没有一个平行四边形是菱形；

（3）不存在x

∈R ，

x2+1<0. 经过观察，我们发现，以上三个特称命题的否定都可以用全称命题表示. （1）所有实数的绝对值都不是正数；

（2）每一个平行四边形都不是菱形；

（3）



x

∈

R，x2+1 ≥ 0.

一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论: 结论二：特称命题p ：

x0

∈M，p （

x0），

它的否定ㄱp: x

∈M,ㄱp （

x ）.特称命题的否定是全称命题. 【设计意图】通过对给出的6个实例的探究、观察、发现归纳出全称命题和特称命题的否定，让学生能够理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并正确地对含有一个量词的命题进行否定。

（三）例题巩固

例1、写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有自然数的平方是正数；

（2）p：所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

（3）p：每一个四边形的四个顶点共圆. 解：（1）ㄱp：有些自然数的平方不

是正数；

（2）ㄱp：存在一个可以被5整

除的

整数，末位数字不是0；

（3）ㄱp：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.

例2、写出下列特称命题的否定：

（1）p: 存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立；

（2）p: 有些三角形不是等腰三角形；

（3）p: 有一个素数含三个正因数.

解：（1）ㄱp：所有的实数都使得2x＋3y＋3≤0成立；

（2）ㄱp：所有的三角形都是等腰三角形；

（3）ㄱp：所有的素数都不含有三个因数.

【设计意图】通过学生合作交流，激发学生学习积极性，提高课堂教学效果。

（四）变式训练

变式训练1

写出下列全称命题的否定：

（1）每条直线在y轴上都有截距；（2）每个二次函数的图像都与x轴相交.

解：（1）存在一条直线，它在y轴上没有

截距；

（2）

存在一个二次函数，它的图像与x轴相交.

变式训练2、写出下列特称命题的否定：

（1）存在一个三角形，它的内角和小于180o; （2）存在一个四边形没有外接圆.

解：（1）每一个三角形内角和不小于180o；

（2）每个四边形都有外接圆. 由上面学习的结论一和结论二

，我们可以写出全称命题和特称命题的相应的命题的否定，从而就可以判断其真假.

【设计意图】通过变式训练，加深对含有一个量词的命题的否定的理解。

（五）小试牛刀

1. 命题“存在x0

∈

R，2x0

≤ 0”的否定是（

D

）

（A）不存在x

0∈

R,2x0 >0

（B）存在x0∈

R, 2x0≥ 0

（C）对任意的x∈

R, 2x≤ 0

（D）对任意的x∈

R, 2x>0 2. 已知命题p

：

x

∈R ，sin x

≤ 1，则（

C

）

（A）ㄱp：



x

∈R ，

sin x

≥ 1

（B）ㄱp：



x

∈R ，

sin x

≥ 1;

（C）ㄱp：



x

∈R ，

sin x >1

（D）ㄱp：



x

∈R ，sin x >1. 3、命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(

C

) (A)对任意实数x,都有x＞1

(B)不存在实数x，使x≤1

(C)对任意实数x,都有x≤1

(D)存在实数x,使x≤1

4、命题“对于任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是(

B

) (A)不存在x0∈R,使x3-x2+1 >0

(B)存在x0∈R,使x3-x2+1 > 0

(C)存在x0∈R, R,x3-x2+1≤0

(D)对任意的x∈R,x3-x2+1 > 0

【设计意图】让学生进一步掌握全称命题和特称命题否定的一般步骤。

（六）课堂练习

1. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(

D

) （A）所有不能被2整除的整数都是偶数

（B）所有能被2整除的整数都不是偶数

（C）存在一个不能被2整除的整数是偶数

（D）存在一个能被2整除的整数不是偶数

2.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是任意一个三角形都有外接圆

3.命题“∀

x

∈N, x3>x2”的否定是

x∈N, x3

≤ x2

4.写出下列命题的否定，并判断它们的真假

（1）p：每一个正方形都是平行四边形；

（2）p：有些三角形的三条中线相等；

（3）p:



x0

∈R，x02+2x0+2=0.

解：

（1）ㄱp: 存在一个正方形，它不

是平行四边形，

┐p假命题；

（2）ㄱp :每一个三角形的三条中线不相等，

┐p假命题

；

（3）ㄱp: 

x∈R , x2+2x+2 ≠0, ┐p

是真命题. 【设计意图】

通过课堂练习，加深对含有一个量词的命题的否定的理解。

（六）谈谈收获

含有一个量词的全称命题的否定：

全称命题

p ：

x

∈M，p（x），

它的否定ㄱp ：

x0

∈M，ㄱp（x0）. 全称命题的否定是特称命题. 特称命题

p

：

x0

∈M，p（x0），它的否定ㄱp

：

x ∈M，ㄱp

（x）. 特称命题的否定是全称命题. 【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对含有一个量词的命题的否定的认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。

（六）布置作业

1、P28

A组3、4

B组1、2、3、4

2、《导学案》练习题

【设计意图】通过课后的强化练习，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化。

（七）板书设计

1.4.3含有一个量词的命题的否定

一．全称命题

p ：

x

∈M，p（x），

它的否定ㄱp ：

x0

∈M，ㄱp（x0）. 电子白板

全称命题的否定是特称命题. 全称命题和它的否定的真假性相反

二、特称命题

p

：

x0

∈M，p（x0），

学生板演

它的否定ㄱp

：

x ∈M，ㄱp

（x）.

特称命题的否定是全称命题. 特称命题和它的否定的真假性相反

全称量词→全称命题

特称命题

→否定→

存在量词→特称命题

全称命题

七、教学反思：

本节是通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义。要求学生能正确地对含有一个量词的命题进行否定并且进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力。展示教学重点及难点。教学围绕考纲展开。只让学生掌握含有一个量词的命题的否定，即命题的否定形式，不是否命题。我通过如下几个例子引入：写出下列命题的否定（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x∈R,

x2－2x＋1≥0；

（4）有些实数的绝对值是正数；（5）某些平行四边形是菱形；（6）

x∈R,

x2＋1＜0. 前三个命题都是全称命题，即具有

“∀

x

∈M，p（x）”的形式；后三个命题都是特称命题，即“∃x ∈M，p（x）”的形式。紧接着通过合作探究含有一个量词的全称命题的否定，让学生自己总结，归纳出全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。接下来通过例题巩固、变式训练、课堂练习、课堂小结、教学评价、布置作业等环节，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化，加深对本节课重点和难点的理解。本节课以学生为主体教师为主导，教学重难点突出，课堂氛围活跃，学生积极参与合作探究，从学生的课堂表现和课后作业情况来看，达到了预想教学效果。