1.2.1 充要条件教案（名师）

1.2.1充分条件与必要条件教学设计

设计教师：李海霞

一、教学目标及其解析

（一）教学目标：

1. 理解必要条件、充分条件的含义。

2. 通过具体命题，掌握判断充分条件、必要条件的方法。

（二）解析：

教科书结合实例给出推断符号“”和等价符号“”，并引出充分条件、必要条件与充要条件的概念．它们是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一．在“充分条件与必要条件”这节内容前，教材安排了“命题及其关系”作为必要的知识铺垫，并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件．学习本节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系，本节所讲的充分条件、必要条件与充要条件中的p、q与四种命题中的p、q内容是一致的，即它们可以是简单命题，可以是不能判断真假的语句，也可以是“若p则q”形式的复合命题，但本节中，一般只要求p、q是简单命题，而不作更深的讨论．

二、教学重难点解析

（一）重点、难点：

教学重点：理解充分条件、必要条件的概念；

教学难点：理解必要条件的概念；如何判断条件和结论之间的因果关系；

（二）解析：

这一节介绍了充分条件,必要条件两个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充分条件、必要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“q=>p”,称p是q的必要条件难于接受,p本是q推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。教学关键：找出p、q，根据定义判断p=>q与q=>p是否成立。教学中，要强调先找出p、q，否则，学生可能会对必要条件难以理解。

三、教学过程设计 问题1：按要求完成下列题目

①写出命题“若ab0，则a0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

问题2：结合问题1，说一说什么是充分条件、必要条件？

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“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

定义解读：“pq”，也就是条件p“足以”保证或“充分”保证结论q成立，这时我们说p是q的充分条件（sufficient condition）；从命题的角度看，“pq”，根据逆否命题与原命题的等价性，既也就是如果没有q成立，就一定没有p成立，q成立是p成立“必须要有”的前提条件，我们说q是p的必要条件（necessary condition）.

(1)从逻辑关系上看

①如果p⇒q，且qp，那么称p是q的充分不必要条件；

②如果pq，且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件；

④如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件．

(2)从集合间的关系上看

①若A⊆B，则A是B的充分条件；

②若A⊇B，则A是B的必要条件；

④若AB且BA，则A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件．

(3)充分条件与必要条件的两个特征

①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即p⇒q⇔q⇐p. ②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”或“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”．

1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(

) (3)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(

)

答案：(1)√

(2)√

(3)√

2．“x＞0”是“x≠0”的(

) A．充分条件

B．必要条件

C．既不充分也不必要条件

D．不确定

答案：A 问题3：判断p是q的什么条件的基本步骤是什么？

判别步骤：

①找出p、q；②判断pq与qp的真假；③下结论．

判别技巧：

①简化命题；②否定一个命题只要举出一个反例即可；

③遇到复杂命题可将命题转化为等价的逆否命题后再判断

典型例题分析

例1、（课本例1）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x1，则x4x30；

2（，）

（2）若f(x)x，则f(x)在上为增函数；

（3）若x为无理数，则x为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．

例２、（课本例2）下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件? 22 (1) 若xy，则xy；

2(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

(3)(3) 若a ＞b,则ac＞bc．

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分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．

例3、（优化例1）判断下列各题中p是q的什么条件？

(1)p：x＞1，q：x2＞1；

(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(3)p：a＜b，q：＜1. b(1)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1得x＜－1或x＞1，不一定有x＞1.因此p是q的充分不必要条件．

(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此p是q的必要不充分条件．

aaa(3)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；当a＞0，bbbaab＞0，＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既bb不充分也不必要条件．

方法归纳

(1)如果命题“若p，则q”为真命题，即p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．如果命题“若p，则q”为假命题，即p

q，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．

(2)若原命题“若p，则q”为真命题，且逆命题“若q，则p”也为真命题，即p⇔q，那么p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．

四.课堂检测（课本10页练习1、2、3、4）

1、用符号“⇒”与符号“22（1）xy xy

”填空

（2）内错角相等 两直线平行

（3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数

（4）acbc ab

2、下列的“若p，则q”命题中，那些命题中的p是q的充分条件. （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行. （2）若x5，则x10

3、下列的“若p，则q”命题中，那些命题中的q是p的充分条件. （1）若是a5无理数，则a是无理数

（2）若(xa)(xb)0，则xa

4、判断下列命题的真假：

（1）x2是x4x40的必要条件

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件

（3）sinsin是的充分条件

（4）ab0是a0的充分条件

五.课堂小结

1．充分条件和必要条件

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“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

[温馨提示]

(1)从逻辑关系上看

①如果p⇒q，且qp，那么称p是q的充分不必要条件；

②如果pq，且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件；

③如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件；

④如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件．

(2)从集合间的关系上看

①若A⊆B，则A是B的充分条件；

②若A⊇B，则A是B的必要条件；

③若A＝B，则A是B的充要条件；

④若AB且BA，则A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件．

(3)充分条件与必要条件的两个特征

①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即p⇒q⇔q⇐p. ②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”或“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”．

六、课后作业

1.下一课时前置作业

2.优化方案：

[学业水平训练] 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.因|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|. 2．(2013·高考福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件，选A. 3．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.若“{an}是公比为2的等比数列，

则当n≥2时，an＝2an－1成立．

当an＝0，n＝1,2,3,4，…时满足an＝2an－1，n＝2,3,4，但此时{an}不是等比数列，

∴“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．

4．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由已知p：x＜－1或x＞1，则q⇒p，qp，∴q是p的充分不必要条件．由互为逆否命题的两个命题同真假得綈p是綈q的充分不必要条件．

6．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．

解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y.而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y

lg x>lg y. 答案：充分不必要

7．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．

解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即AB. 又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，

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所以A是B的必要不充分条件．

答案：必要不充分

8．下列不等式：

①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．

解析：由于x2＜1，即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．

答案：②③④

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