小结优秀教学设计内容

高考达标检测 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、选择题

1．下列命题为真命题的是(

) A．若ac>bc，则a>b

11C．若a>b，则a

B．若a2>b2，则a>b

D．若a

解析：选D

由ac>bc，当c<0时，有a

若a2>b2，不一定有a>b，如(－3)2>(－2)2，但－3<－2，选项B错误；

1111若a>b，不一定有a－，但2>－3，选项C错误；

23若a

2．给出以下四个命题：

命题p1：存在x∈R，x－2>lg x成立；

命题p2：不存在x∈(0,1)，使不等式log2x

命题p3：对任意的x∈(0,1)，不等式log2x

1命题p4：对任意的x∈(0，＋∞)，不等式log2x<成立．

x其中的真命题有(

) A．p1，p3

C．p2，p3

B．p1，p4

D．p2，p4

解析：选A

p1中取x＝10，则有10－2>lg 10，故命题p1为真命题；由对数函数的性质知，p2为假命题，p3为真命题；p4中取x＝4不等式不成立，故选A. 3．(2018·石家庄一模)命题p：若sin

x>sin

y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(

) A．p或q

C．q

B．p且q

D．綈p

π5π解析：选B

取x＝，y＝，可知命题p是假命题；

36由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，

故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．

34．(2018·唐山模拟)已知命题p：∃x0∈N，x0

) A．p假q真

C．p假q假

B．p真q假

D．p真q真

22解析：选A

由x30

数，∴命题p为假命题；∵对任意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，∴命题q为真命题．

5．下列命题中，假命题的是(

) A．∃x0∈R，ln x0<0 B．∀x∈(－∞，0)，ex>0 C．∀x>0 , 5x>3x

1x01x0D．∃x0∈(0，＋∞)，2<3

1解析：选D

令x0＝，则ln x0＝－1<0，故A正确；由指数函数的性质可知，B、Ce正确．因此答案为D. a01－∞，－

，使得函数f(x)＝x＋6．(2018·河北六校联考)命题p：∃a0∈4x＋1在1，3上单调递增；命题q：函数g(x)＝x＋log2x在区间1，＋∞上无零点．则下列命题中22是真命题的是(

)

A．綈p

C．(綈p)∨q

B．p∧q

D．p∧(綈q) a1解析：选D

设h(x)＝x＋.当a＝－时，函数h(x)在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上2x＋1111，3

上必单调递增，即p是真命题；∵g1＝－为增函数，且h＝>0，则函数f(x)在262211，＋∞上有零点，即q是假命题，故选D. <0，g(1)＝1>0，∴g(x)在22π0，，7．命题p：“∃x0∈则实数a的取值范围是(

) 4sin 2x0＋cos 2x0

C．[1，＋∞)

B．(－∞，2] D．[2，＋∞) π0，

，sin 2x0＋cos 2x0

解析：选A

因为命题p：“∃x0∈4π0，

，所以命题綈p：“∀x∈即(sin 2x＋cos 2x)min≥a，

4sin 2x＋cos 2x≥a”是真命题，πππ3π2x＋，因为sin 2x＋cos 2x＝2sin且

≤2x＋≤，所以sin 2x＋cos 2x≥1，则a≤1. 44448．(2017·贵阳期末)下列说法正确的是(

) x0A．命题“∀x∈R，ex>0”的否定是“∃x0∈R，e>0”

B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题

C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”

D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题

x0解析：选B

A：命题的否定是“∃x0∈R，e≤0”，∴A错误；B：逆否命题为“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题，∴B正确；C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D：若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则：①a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．

二、填空题

9．命题“∀x∈R，cos x≤1”的否定是____________________．

答案：∃x0∈R，cos x0>1 10．给出下列命题：

①∀x∈R，x2＋1>0；②∀x∈N，x2≥1；

2③∃x0∈Z，x30<1；④∃x0∈Q，x0＝3；

⑤∀x∈R，x2－3x＋2＝0；⑥∃x0∈R，x20＋1＝0. 其中所有真命题的序号是________．

解析：①显然是真命题；②中，当x＝0时，x2<1，故②是假命题；③中，当x＝0时，x3<1，故③是真命题；④中，对于任意的x∈Q，x2＝3都不成立，故④是假命题；⑤中，只有当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0才成立，故⑤是假命题；⑥显然是假命题．

综上可知，所有真命题的序号是①③. 答案：①③

111．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：>1，若“(綈q)∧p”为真，则x的取值范3－x围是________．

解析：命题p：x>1或x<－3；

由1>1，求解可得命题q：2

3－x则命题綈q：x≥3或x≤2，

因为“(綈q)∧p”为真，

x≥3或x≤2，所以解得x≥3或x<－3，

x>1或x<－3，

所以x的取值范围是(－∞，－3)∪[3，＋∞)．

答案：(－∞，－3)∪[3，＋∞) 12．给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程

x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是________．

a>0解析：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇒a＝0或⇒0≤a<4；

2Δ＝a－4a<0

1关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇒1－4a≥0⇒a≤；

411若p真q假，则有0≤a<4，且a>，∴

441若p假q真，则有a<0或a≥4，且a≤，∴a<0，

41所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪4，4. 1答案：(－∞，0)∪4，4

三、解答题

13．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

－422解：若p为真，则对称轴x＝－＝a在区间(－∞，2]的右侧，即a≥2，∴0

∴Δ＝[－16(a－1)]2－4×16<0，

13∴

∴命题p，q都为真，

0

x＋2x－8＞0.

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a，

即p为真命题时，a＜x＜3a，

2x－x－6≤0，－2≤x≤3，由2得

x＋2x－8＞0，x＞2或x＜－4，

即2＜x≤3，即q为真命题时，2＜x≤3. (1)a＝1时，p：1

2＜x≤3，

得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3)．

(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，

由题意知q是p的充分不必要条件，所以BA，

0＜a≤2，有所以1＜a≤2，

3a＞3，

所以实数a的取值范围为(1,2]．

y91．已知命题p：对于一切正实数x，y，不等式

－cos2x≥asin x－恒成立．若命题

y4綈p是假命题，则实数a的取值范围是(

) 4－∞，

A.3C．[－22，22]

B．[3，＋∞) D．[－3,3] 解析：选D

因为命题綈p是假命题，所以命题p是真命题，

y9由题意，对于一切正实数x，y，不等式＋≥asin x＋cos2x恒成立，

4yy9因为＋y≥2 4y9·＝3，

4y所以对于一切正实数x，不等式3≥asin x＋cos2x，

即sin2x－asin x＋2≥0恒成立，

令sin x＝t，－1≤t≤1，

设f(t)＝t2－at＋2，－1≤t≤1，

a当>1，即a>2时，函数f(t)＝t2－at＋2在[－1,1]上是减函数，

2所以f(1)＝3－a≥0，则2

aaa－1，上是减函数，在，1当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，函数f(t)＝t2－at＋2在222上是增函数，

aa2a所以最小值是f＝－a×＋2≥0，则－2≤a≤2；

222a当<－1，即a<－2时，函数f(t)＝t2－at＋2在[－1,1]上是增函数，

2所以f(－1)＝3＋a≥0，则－3≤a<－2.

综上可得，实数a的取值范围是[－3,3]．

x2．已知函数f(x)＝x，在下列命题中，

e①曲线y＝f(x)必存在一条与x轴平行的切线；

②函数y＝f(x)有且仅有一个极大值，没有极小值；

1－∞，；

③若方程f(x)－a＝0有两个不同的实根，则a的取值范围是e1④对任意的x∈R，不等式f(x)<恒成立；

210，，则∃x1，x2∈R＋，可以使不等式f(x)≥a的解集恰为[x1，x2]．

⑤若a∈2e其中正确命题的序号有________．

解析：求导得，f′(x)＝1－x. ex1－x11，的切线与x轴平行，故①正确；

①令f′(x)＝x＝0可得x＝1，即过点ee②当x∈(－∞，1)时，函数f(x)是增函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)是减函数，所1以函数f(x)有极大值f(1)＝，没有极小值，故②正确；

e11③由②可知，当x∈(1，＋∞)时，0

f(x)－a＝0有两个不同的实根，则a的取值范围是e11④由②可知，f(x)≤f(1)＝<，故④正确；

e210，，⑤由②可知，若a∈x2∈R＋，可以使不等式f(x)≥a的解集恰为

[x1，2e则∃x1，x2]，故⑤正确．

答案：①②④⑤