1.1.2 充分条件和必要条件优秀完整教案

湖北省示范学校

湖北省汉川市第一高级中学讲课资料

课题：充分条件与必要条件

授课教师：廖

晗

课题：充分条件与必要条件

廖晗（湖北省汉川市第一高级中学）

一、教学设计

1．教学内容解析

本节是人教A版高中数学新课标教材必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第四节的内容，属于预备知识，帮助学生完成初高中学习的过渡.充分条件、必要条件和充要条件是常用的逻辑用语，在数学中有着广泛的应用，对学生理解数学有很大的帮助.学习充分条件、必要条件，既是对学生在初中已经学习过的数学知识巩固和提升，又能体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地让学生在今后的学习加以应用.本节内容的教学至少需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时. 根据以上分析，确定本节课的教学重点如下：

教学重点:

充分条件、必要条件的概念的理解与判断；充分条件、必要条件和判定定理、性质定理之间的关系的理解. 2．学生学情诊断

学生刚进高中，高中数学课程才接触完集合，还没有做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备.相对于初中的数学知识，常用逻辑用语这部分内容比较抽象，对学生的逻辑推理、数学语言的运用等能力要求较高，是学生高中阶段数学学习的一个难点.因此，要注意针对学生实际，控制好教学标准和问题的难度，不要急于求成，第一课时只讨论充分条件、必要条件两个概念与判断问题，以及充分条件、必要条件和判定定理、性质定理之间的关系.对于充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件和充要条件留待第二课时讨论，应让学生在后续的学习过程中再加深理解. 根据以上分析，确定本节课的教学难点如下：

教学难点:必要条件的概念. 3．教学标准设置

（1）通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；

（2）通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.

4．教学策略分析

（1）在教学中，可以利用学生熟悉的知识来辅助充分条件与必要条件概念的教学，如在教学过程中通过生活中的实例引入新课，引起学生的兴趣，同时通过分析命题的真假为充分条件与必要条件定义的学习做准备，紧密联系初中学习的典型数学命题，通过分析、判断、归纳等方法逐步形式化（符号化），提升学生的逻辑推理素养；

（2）在传统“接受式教学法”的基础上，本节以学生的自主探索、合作学习为主要特征，学习过程中，学生在原有认知基础上，其认知、动机、行为都能得到积极有效的参与.通过让学生自学、小组互纠、交流讨论、合作探究理解充分条件与必要条件的意义以及充分条件、必要条件和判定定理、性质定理之间的关系. 教学流程：

感知概念

形成概念

理解概念

深化概念

知识小结

作业

教师情

景引入

师生互

动探究

小组合

作探究

个人展

示质疑

学生总结

教师点评

1

二、课堂实录

1.教师情景引入，感知概念

音乐欣赏（我是一只鱼） 师：刚才大家欣赏的歌曲名称叫做《我是一只鱼》，这首歌是老师高中时代经常听的，非常有诗意，其中蕴藏着数学逻辑.正如歌曲中所唱：离开水的鱼，会活不下去.我们都知道，鱼非常需要水，也就是说鱼能生存一定要有水.没有水，鱼就不能生存.但是，只有水够吗？那么水是鱼生存的什么条件呢？要解决这个问题，我们今天需要学习数学逻辑用语——充分条件与必要条件. 【评析】生活就是一个巨大的数学课堂，以学生熟悉的生活实例在学生头脑中形成定义的表象，同时以歌曲烘托气氛，提高了学生主动参与学习的积极性. 师：在初中，我们已经对命题有了初步的认识.一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.下面将进一步考察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系.现在我们来判断下列“若p，则q”形式命题的真假. 思考1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？

⑴

若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

⑵

若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

⑶

若x2-4x+3=0，则x=1；

⑷

若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b. 2、师生互动探究，形成概念

2.1师生活动

生：在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件p不能得出结论q,所以它们是假命题. 2.2归纳充分条件、必要条件定义

（板书1）一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说，p是q的充分条件.（只要有条件p就一定能充分保证q成立）

师：与比同时，如果q不成立，则p成不成立？请举例说明.请同学们小组讨论. （小组讨论, 突破难点）

生：明确p、q，并给出结论：如果q不成立，则p一定不成立.所以，q对于p成立而言是必要（必须要有）的,这时称q是p的必要条件. 注明：“pq”、“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式.前者是符号表示，后两者是文字表示. 师：我们再来看一个物理学科的电路图，图中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？(用推出符号表示逻辑关系) 【评析】物理电路图学生掌握情况良好，能较好地帮助理解充分条件与必要条件的概念，突破难点. 师：如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p和结论q的关系又如何呢？

如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 2.3尝试初步运用

（过渡：在初步的了解定义之后，现在我们先来解答情景引入中的问题.）

因为

p：鱼能生存

q：有水，所以水是鱼生存的必要条件.

【评析】⑴形成概念后解决情景引入问题，前后呼应，把实际问题形式化（符号化），提升学生的逻辑推理素养. ⑵充分条件与必要条件判断的关键：①认清p，q②考察“若p，则q”的真假.

2

3、小组合作探究，理解概念

例1. 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

⑴

若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

⑵

若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

⑶

若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ⑷

若x2=1,则x=1; ⑸

若a=b，则ac=bc; ⑹

若x,y为无理数，则xy为无理数. 【评析】这里⑴(2)都是初中学过的判定定理，它们分别给出了“四边形是平行四边形”“两个三角形相似”的一个充分条件，其目的是引导学生将充分条件与判定定理联系起来.另外，举反例是判断一个命题是假命题的重要方法.

思考2. 例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？（小组讨论）

生：我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q,但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q.一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的.

生：①四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；

②四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；

③四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；

可能还会答出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 师：事实上，例1中命题（1）及命题①②③均是平行四边形的判定定理.想想：平行四边形的每一条判定定理和“四边形是平行四边形”的充分条件有什么关系？（小组讨论）

生：平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件. 师：类似地，平行线的每一条判定定理和“两直线平行”的充分条件的关系又有什么关系？

（板书2）一般地，数学中每一条判定定理都给出了相应的数学结论成立的一个充分条件. 【评析】提升学生的特殊到一般的的数学逻辑推理素养，推理形式为归纳. 例2. 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等; （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例; （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形; （4）若x=1,则x2=1; （5）若ac=bc，则a=b; （6）若xy为无理数，则x,y为无理数; 师：请同学们更正，使命题⑶⑷⑹中的q成为p的必要条件，同时总结必要条件判断的方法. 【评析】学生更正，使命题⑶⑷⑹中的q成为p的必要条件，同时总结必要条件判断的方法.（小组讨论）

生：一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“pq"，即“若p，则q”是否为真命题. 思考3. 例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗？类比思考2，探究数学中每一条性质定理与相应的数学结论成立的必要条件有什么关系？（小组讨论）

生：我们说q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q,但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p,由p可以推出的结论q是不唯一的.

生：①若四边形为平行四边形，四边形的两组对边分别相等；

②若四边形为平行四边形，四边形的一组对边平行且相等；

3

③若四边形为平行四边形，四边形的两条对角线互相平分. （板书3）一般地，数学中每一条性质定理都给出了相应的数学结论成立的一个必要条件. 【评析】学生类比思考2，小组合作探究得出结论，再一次提升学生的特殊到一般的数学逻辑推理素养，推理形式为归纳、类比. 4、个人展示，深化概念

课堂练习：

1.下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB; （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；

（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 2.下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若直线l与圆O有且仅有一个交点，则l为圆O的一条切线；

（2）若x是无理数，则x2也是无理数. 【评析】反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和判断方法，也帮助教师了解学生获取知识的现状. 5、学生归纳总结，教师点评

师：在本节课中同学们的思维很敏捷，与老师的配合也很默契，通过学习我们有哪些收获？学生小结，教师点评补充. 知识与方法：充分条件、必要条件的概念的理解与判断方法；充分条件、必要条件和判定定理、性质定理之间的关系的理解. 数学核心素养：掌握从特殊到一般的逻辑推理，推理形式主要有归纳与类比. 【评析】学生从知识与方法层面总结，教师则从数学核心素养层面升华本节内容. 6、作业

（1）已知α是β的必要条件，s是t的必要条件，也是β的充分条件，试确定α与t的关系. （2）求证：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充分条件为AC=BD.

【评析】设计连锁关系的命题目的是提高学生解决问题的能力，设计等腰梯形的判定定理求证问题，进一步强化充分条件、必要条件和判定定理、性质定理之间的关系. 三、教学反思

可取之处：本节课的重点在于理解充分条件、必要条件的概念与判断方法，理解充分条件、必要条件和判定定理、性质定理之间的关系.在教学中，利用命题的真假引入概念，这样可以减少学生对新知的陌生感.通过逻辑推理与物理电路图的关系帮助学生理解.通过教科书中设置的问题，让学生有目标地自主探究、小组讨论、合作交流，给每个学生提供思考创造的机会，培养学生自主获取知识的能力. 改进之处：一是本节课在概念的建构过程中，应通过设置疑点，引发认知冲突，让学生在质疑辨析之中，加深对概念的理解；二是本节课趣味性还不够强，还可以列举更多的生活中的命题让学生判断. 四、教学点评

一是体现了“师为主导，生为主体”的教学理念

本节课的教学设计和实际教学中，教师本人更多的是站在一个引路人的角度，告诉学生向哪里走，怎么走，让他们自己去走.如在例题的教学中，教师大多是先带领学生分析问题，探求解决问题的方法，在学生通过自己的努力尝试解答之后，教师再进行总结，避免了“满堂灌”.

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二是教学层次鲜明，衔接自然

整个教学过程采用“情景引入感知概念、互动探究形成概念、合作探究理解概念、个人展示深化概念、归纳总结教师点评”五个环节，以问题为主线，以理解概念为核心，以应用概念为根本，这样就把几个环节很自然地联系在一起，突出了概念教学地特点.

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