2.2.2 椭圆的几何性质优质课一等奖

高三数学一轮复习—椭圆的几何性质1（求解椭圆离心率）

目标：离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基本量，求解椭圆的离心率是江苏历年高考的热点.掌握求解椭圆离心率的几种常用方法，理解和掌握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力.

一、基础知识

x2y2在椭圆E:221(ab0)中

ab1. 离心率e ；离心率的取值范围 .

2.椭圆E上一点P到一焦点的距离的取值范围为 ；点P到中心的距离的取值范围为 ；点P到一准线的距离的取值范围为 . 3.椭圆E上一点P(x,y)的坐标范围为 . 二、例题剖析

x2y221的离心率e，则k_______. 例1.(1)已知椭圆方程39k

x2y2(2)如图，椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1,F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，ab若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为 ．

yQPx2y2变式：如图，已知F1,F2是椭圆C:221

(ab0)的左、右焦点，点Pab222在椭圆C上，线段PF2与圆xyb相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为 .

例2.

（1）（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆F1OF2x

bx2y2y1(ab0)

的右焦点，直线与椭圆交于B,C222ab两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是

.

变式：.

x2y2（2）已知椭圆C：221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:yexa,P为点abF1关于直线l对称的点，若PF1F2为等腰三角形,则e的值为

．

例3.（1）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF，则椭圆离心率的取值范围1PF2是

.

x2y2（2）设F，F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使线段PF1的中1ab垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是

.

x2y2变式：椭圆221（ab0）的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线ab段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是

.

x2y2思考：1.若椭圆221(ab0)上存在一点Mab离心率的取值范围为 .

，它到左准线的距离与它到右焦点距离的相等，则椭圆

x2y22.点M是椭圆221（ab0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆Mab轴相交于P、Q，若PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．

与y

附近年来江苏高考有关圆锥曲线离心率的真题

x2y21.（2008江苏12）在平面直角坐标系中，椭圆221( ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的aba22圆，过点 ,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ．2c2.（2009江苏13）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2y x2y2为椭圆221(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线abA1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 .学科

T B2 M A1 O B1 F A2 x

xy21的离心率为5，则m的值为 ．2

mm4x2y24.（2012江苏20（1））在平面直角坐标系xoy中，椭圆221(ab0)的左、右焦点为ab3F1(c,0),F2(c,0)．点(1,e)和(e,)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率，求椭圆方程． 2c1c2222解：(1)由题设知a＝b＋c，e.由点(1，e)在椭圆上，得2221，解得b2＝1，于是c2＝a2－1，又aaabe23a213x22321，即41，解得a＝2.因此，所求椭圆的方程是＋y＝点(e，)在椭圆上，所以2a4b2a4223.（2012江苏8）在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1. 22x2y25.（2013江苏12）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的标准方程为221(ab0)，右焦点为F，右ab准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d26d1，则椭圆C的离心率为 ．3 36.（2014江苏17）如图，在平面直角坐标系xoy中，F1,F2是椭圆x2y221(ab0)的左、右焦点，，顶点B的坐标为，连接BF2并延（0,b）2ab

长交椭圆于点(1)

A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．

41（,）点C的坐标为，BF2＝2，求椭圆方程；

(2)若F1CAB，求椭圆离心率．

33

1x2y21；【答案】（1）（2）22x2y227.（2015江苏18（1））在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆221(ab0)的离心率为，且右焦ab2点F到左准线l的距离为3，求椭圆的标准方程．

x2【答案】（1）y21

28.（2016江苏10）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆bx2y2

的右焦点，直线y与椭圆交于B,C两点，1(a＞b＞0)2a2b2且BFC90

,则该椭圆的离心率是

.

6

3x2y29.

（2018江苏8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线221(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条ab渐近线的距离为3c，则其离心率的值是

．2

2