2.3.2 双曲线的几何性质教学设计一等奖

2.3.2双曲线的几何性质教学设计

指导思想与理论依据

一方面，学生对知识的获得，应是在自己已有知识中找到生长点，通过一定的思维活动，促使其生长发展为新的知识，因此，教学活动的设计要为学生头脑中的知识生长发展创设合适的土壤与环境.

另一方面，学习的目的不仅仅是获取知识，更为重要的是要形成良好的知识结构，使得学生能够以此为基础，自如调用所学知识解决问题、获取新知，这就需要让学生理解知识的发现、展开、证明的线索，从而使学生把知识和知识形成过程中所蕴含的发现、推理及思维方法一起纳入到自己的知识结构中。

但有些学生的学习行为是与之相背的，他们重结果轻过程，更关注知识、技巧的机械记忆，从而造成了知而不能用的现象，因此教学活动的设计，应有助于学生改变原有的不当学习方式和习惯，激发学生学习的主动性，使学生的学习活动成为教师引导下的“再创造”过程，养成深入思考，积极探索，寻根溯源的习惯.此外，学生学习活动的设计，应有助于学生认识理解所学章节所蕴涵的一般思维方法，增强对数学各部分知识的联系的认识和理解，把握知识发生发展的脉络特点，体会、认识知识的形成过程，领悟问题解决过程中的思维策略与方法.

教学背景分析

教学内容分析：

解析几何的一般研究方法是，建系求曲线方程，以曲线方程为研究对象，通过曲线方程的代数特性来研究曲线的几何特性，这一研究方法在必修2中难以得到完全体现，一则，学生刚刚接触解析几何，需要一个认知的过程，此外，教学内容上，直线与圆都是学生非常熟悉的曲线，学生已经熟知它的性质，所以必修2更强调确定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。对于直线与直线、直线与圆，圆与圆的位置关系的研究，也是更侧重于图形，依据图形把直线倾斜角、夹角、点线距（圆心与直线距离）、圆心距用代数表示出来，从而实现用它们的数量关系来确定判断、研究直线与直线、直线与圆及圆与圆的位置关系。

在选修2－1第二章中研究的对象是学生不太熟悉的圆锥曲线，不论从学生对解析几何研究方法的认识理解方面，还是内容方面，都使得在这一章的学习中，能够更深入的认识、理解、运用解析几何的一般研究方法。因此，在椭圆的教学中，力求突出解析研究的一般方法：即由椭圆定义，把椭圆上点的几何约束条件代数化，获得椭圆方程。然后，再以椭圆方程为研究对象，让学生研究方程的代数特性，从中预判椭圆在坐标系中分布区域及对称性，给出相关概念，获得椭圆几何性质。然后再以椭圆方程为研究对象，结合前面所得性质研究其与直线的位置关系。学生在这一学习过程中，已经对研究的程序及方法有了初步的认识。这为学生学习双曲线的几何性质打下了很好的认知基础，这使得放手让学生类比椭圆的研究过程及方法，进行自主探究双曲线的几何性质成

为可能。下图展现了“椭圆性质”这节课的展开方式。

学生情况分析：

学生有较好的数学基础，学习也比较刻苦、认真，但是部分学生在学习中仍过于关注结论，而忽视结论获得的过程，重视吸收教师所讲的知识，而缺乏主动质疑并发展教师所讲内容，发现、提出问题的能力比较弱，在数学思维的深度和广度方面还有一定欠缺。

教学方式与手段：

根据教学内容的特点和学生的实际，本节课的设计高度关注学生深层次的思维活动，注重课堂学习的实际效率，在学生能力所及的内容上，由学生自主探究完成，在学生难以独立完成的内容上，采取教师引导下的探究和合作交流，并引导学生对探究过程的一些环节提出疑问，生成课下进一步研究探索的小课题，使探究活动延续到更为广阔的课下舞台。

教学目标

1．了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念，知道它们刻画了双曲线的哪些几何性质。

2．教师通过一系列问题（含复习与预习问题）的导引及问题情景的创设，引发学生类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质。在经历探究双曲线的几何性质的过程中，体会由数论形的一般方法：曲线方程――分析获得代数特性――对应为曲线几何性质，促进学生对“数”与“形”的联系的运用与认识。

3．通过教师引导学生进行的探究活动和必要讲解，消除知识出现的生硬感，使其出现得合情合理，促使学生对研究方法与过程的关注和理解，避免学生对结论的机械记忆，鼓励学生在学习中敢于质疑，深入思考，积极探索的习惯。让学生体验数学发现和知识发生发展的过程，在思维的层层推进中享受不断获取新发现的快乐，发展学生的创新意识和能力，树立正确的数学学习观。

4．通过教师的讲解、分析，引领学生对无限有所认识，并尝试用无限的思想从方程角度解释双曲线存在渐近性的原因。

教学重点：1．双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。

2．进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何的思想和方法。

教学难点：虚轴的感性接受，渐近线的发现与认识（用极限思想分析方程，获得对“渐近性”的解释）。