3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学内容分析

课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

通海县第二中学 刘华

教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一．情景导入

复习基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x 导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝α·xα－1

f′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln_a(a>0且a≠1)

f′(x)＝ex

1f′(x)＝xln a(a>0且a≠1) 1f′(x)＝x

练习1：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 11(1)(log3π)′＝πln 3.(

)(2)若f(x)＝x，则f′(x)＝ln x.(

) (3)因为(sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1.(

) 二．学导结合

导数的运算法则

设两个函数f(x)，g(x)可导，则

和的导数

差的导数

积的导数

[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)

[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

商的导数

fxf′xgx－fxg′x′＝(g(x)≠0) [gx]2gx'推论：cf(x)cf(x)

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

'练习2：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(

) f′x1(2)fx′＝－(f(x)≠0).(

) [fx]2(3)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在.(

) 三．探究深化

探究一：利用导数公式求函数的导数

例一：

(1)已知函数f(x)＝x2在点(x0，y0)处的导数为1，则x0＋y0＝________. (2)求下列函数的导数：

1π①y＝x20；②y＝x4；③y＝log6x.④y＝sin 3. 小结：用公式求函数导数的方法

1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.

2.对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数1－的模式，如y＝4可以写成y＝x4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过x程中出现指数或系数的运算失误. 练习3：求下列函数的导数：

1①y＝5x；②y＝－x5；③y＝ln 3；④y＝xx3.

探究二：利用导数的运算法则求函数的导数

例二：

求下列函数的导数：

31xx1)y＝x2＋sin 2cos 2；

(2)y＝xx2－2x－6＋2；

x(3)y＝cos xln x；(4)y＝ex. 小结：利用导数运算法则求函数的导数的两个策略

1.解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则.

2.对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易

出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式. 练习：求下列函数的导数：

sin x－cos xx2＋1211①y＝xx＋x＋x3；②y＝2cos x；③y＝. x探究三：利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以解决哪些问题？

【提示】

利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算. x2例三：已知函数f(x)＝a－1(a≥0)的图象在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.

小结：利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题.这种题目往往使用函数与方程的思想，而解题的切入点是确定切点，求切线方程. 练习5.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.

四．总结反思

（1）基本初等函数的导数公式表

（2）导数的运算法则

五．课后练习

根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx2x3（2）y311；（3）yxsinxlnx；

1x1x（4）yx1lnxsinxxcosx2xyy；（5）．（6）；（7）

y(2x5x1)e4x1lnxcosxxsinx【点评】

①

求导数是在定义域内实行的．②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．