1.4.2 存在量词PPT及课堂实录内容

存在量词

(30分钟

50分) 一、选择题(每小题4分,共16分)

1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(

) A.每一个锐角三角形的内角都是锐角B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x0,使>2 【解析】选B.A是全称命题;B中当x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为D是假命题. 2.(2014·长沙高二检测)下列四个命题中,真命题是(

) A.∀x∈R,x+≥2 B.∃x0∈R,x0+≥2 C.∃x0∈R,|x0+1|<0 D.∀x∈R,|x+1|>0 【解析】选B.当x=-1时,x+=-2,显然x+≥2不成立,故A错, 当x=2时,x+=2>2,故B正确,对∀x∈R,|x+1|≥0,故C错误,当x=-1时,|x+1|>0不成立,故D错. 【变式训练】下列四个命题中真命题为(

) A.任意x∈R,x2-1=0 B.存在x∈Z,3x-1=0 C.任意x∈R,x2+1>0

w w w .x k b 1.c o m

+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以

D.存在x∈Z,1<4x<3 【解析】选C.因为对任意实数x,总有x2≥0, 所以x2+1>0对所有实数都成立. 3.命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是(

) A.m<1

B.m>-1 C.-1

D.-1≤m≤1 【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可. 【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题. 命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题, 即对于∀x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,得m<(2x2-x)min=1; 命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题, 则∃x0∈[1,2],-m-1. 综上所述,-1

p4:sinx=cosy⇒x+y=.

其中假命题为(

) A.p1,p4

B.p2,p4

C.p1,p3

D.p3,p4

【解析】选A.p1是假命题,因为∀x∈R,sin2+cos2=1;p2是真命题,例如:当x0=y0=时,sin(x0-y0)=sinx0-siny0=0. p3是真命题,因为∀x∈[0,π],sinx≥0, 所以=|sinx|=sinx. x+y=. p4是假命题,例如:sin=cos二、填空题(每小题5分,共10分)

5.(2014·长春高二检测)若命题“∀x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a”是真命题,则实数a的取值范围是

. 【解析】因为x2-2ax+2≥a, 即x2-2ax+2-a≥0, 令f(x)=x2-2ax+2-a 所以全称命题转化为∀x∈[-1,+∞), f(x)≥0恒成立, 所以Δ≤0或

即-2≤a≤1或-3≤a<-2. 所以-3≤a≤1. 综上,所求实数a的取值范围是[-3,1]. 答案:[-3,1]

【误区警示】解答本题易忽视Δ>0而导致错误. 6.(2012·北京高考)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同时满足条件: ①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x0∈(-∞,-4),f(x0)g(x0)<0,则m的取值范围是

. 【解题指南】根据全称命题的真假以及函数、不等式的关系,结合条件对参数进行分类讨论,然后求交集即可. 【解析】由g(x)=2x-2<0,可得x<1,当x≥1时,g(x)<0不成立,满足条件①时,要使∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,必须使x≥1时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立, 当m=0时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件,所以二次函数f(x)必须开口向下,也就是m<0,要满足条件,必须使方程f(x)=0的两根2m,-m-3都小于1,即解得m∈(-4,0). 满足条件②时,因为x∈(-∞,-4)时,g(x)<0,所以要使∃x0∈(-∞,-4)时,f(x0)g(x0)<0,只要∃x0∈(-∞,-4)时,使f(x0)>0即可,只要使-4比2m,-m-3中较小的一个大即可,当m∈(-1,0)时,2m>-m-3,只要-4>-m-3,解得m>1与m∈(-1,0)的交集为空集;当m=-1时,两根为-2,-2>-4,不符合;当m∈(-4,-1)时,2m<-m-3,所以只要-4>2m,所以m∈(-4,-2). 综上所述,m∈(-4,-2)为所求. 答案:(-4,-2) 三、解答题(每小题12分,共24分)x k b 1 . c o m

7.判断下列语句是全称命题,还是特称命题,并判断其真假. (1)没有一个实数α,tanα无意义. (2)存在一条直线其斜率不存在. (3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗?

(4)圆外切四边形,其对角互补. (5)有的对数函数不是单调函数. 【解析】由于(1)的实质是“所有的实数α,tanα有意义”,含有全称量词,所以(1)为全称命题,是假命题. (2)中含有存在量词,所以(2)是特称命题,是真命题. (3)是疑问句,不是命题. (4)“圆外切四边形,其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形,其对角都互补”,所以该命题是全称命题,是假命题. (5)中含有存在量词,所以(5)是特称命题.因为y=logax(a>0且a≠1)中,当a>1时,对数函数单调递增,当00对于任意x∈R恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)不等式m0+f(x)>0可化为m0>-f(x), 即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m0>-4即可. 故存在实数m0使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时需m0>-4. (2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0), 若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立, 只需m>f(x0)min. 又f(x0)=(x0-1)2+4,所以f(x0)min=4,所以m>4. 所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).