3.1.3 空间向量的数量积运算优质课一等奖

选修2-1

3.1.3空间向量的数量积运算

茂名市第一中学 张囡囡

【教材分析】

空间向量的数量积运算是人教A版选修2-1第三章3.1.3的内容,

是向量法解决立体几何问题的关键，是高考的重要考点。教材在学生已有知识的基础上，结合图形给出空间向量夹角的概念、空间向量垂直的含义、然后直接给出空间向量数量积的概念，类比平面向量探讨空间向量数量积的几何意义，再对空间向量数量积的性质进行研究，并进一步推导论证空间向量数量积的运算律。教材中最后通过两道例题帮助学生分析空间向量数量积可以解决空间中线线垂直和线面垂直的问题。

【学情分析】

本节授课对象是高二学生，是在学生学习了必修4的平面向量的基础上，由已学知识出发，类比平面向量的相关知识探索研究空间向量的数量积运算。由学生熟悉学过的问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

【教学三维目标】

1.知识与技能：

通过类比平面向量，引导学生发现掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个空间向量数量积的概念、通过翻转课堂让学生自主推证空间向量数量积的性质及运算律。会初步运用空间向量数量积公式解决立体几何中的有关问题。掌握空间向量数量积的灵活应用。

2.过程与方法：

引导学生从已有的知识出发, 比较探究平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

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3.情感、态度与价值观：

面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生用数学的热情。

【教学重点和难点】

重点：空间向量数量积公式及其应用。

难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。

【学法与教法】

学法：引导学生首先从平面向量数量积的相关知识出发类比得到空间向量夹角的概念、空间向量垂直的含义、空间向量数量积的概念以及空间向量数量积的几何意义；另外课堂上鼓励学生自主探究推导空间向量数量积的性质，并进一步论证空间向量数量积的运算律，培养学生自主学习能力和数学表达能力。

教法：运用“类比—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式

（1）复习回顾——提出问题, 激发学生的求知欲。

（2）掌握空间向量数量积的定义——由平面向量类比，组织学生自主探索,翻转课堂获得空间向量数量积的定义。

（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

（4）灵活变形练习——深化对空间向量数量积的理解应用。

【教学过程】

一.

复习回顾

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由物理中功的计算, 定义了平面中两向量的数量积运算。

二.类比探究概念

问题1：平面向量的夹角？

探究1：两个空间向量的夹角的定义

AaOB,b，OB已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作O则A叫做向量a与b的夹角，记作a,b。

规定范围0a,b，显然有a,bb,a。

如果a,b2，则称a与b互相垂直，记作：ab。

问题2：平面向量的数量积的定义？

a00

探究2：空间向量数量积的定义

cosa,b叫做a,b的数量积，已知空间两个非零向量a,b，则|a||b|记作ab，即ab|a||b|cosa,b. 注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量;

②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 问题3：平面向量数量积的几何意义？

探究3：空间向量数量积的几何意义

三．证明空间向量数量积的性质

对于非零向量

a,

b

有：

1)aeacosa,e

2)abab0

3)a2aa

注意：

3

①性质2）是证明两向量垂直的依据；

②性质3）是求向量的长度（模）的依据；

四.探究空间向量的数量积满足的运算律

空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）

注意：不满足结合律（

ab)ca(bc)小试牛刀：

2,ab2,

2.已知a22,b2

则a与b的夹角大小为_____.

五．例题讲解

例1：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB。

例2 ：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面

的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 例3: 已知：m,n是平面内的两条相交直线，且lm,ln，求证：l．

六．课堂练习

课本第92页练习1,2,3。

七.总一总，胸有成竹

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1.空间向量数量积的夹角，定义，几何意义，性质，运算律

2.用空间向量数量积证明两直线垂直; 3.用空间向量数量积求两点之间的距离或线段长度; 4.用空间向量数量积求两直线所成角. 布置作业：P98 A组 3,4,5 B组 1,2 八.思维延伸，开阔视野

三垂线定理反过来，在平面内的一条直线,如果和这个

平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.

成立吗？

请同学们课后思考实践证明！

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