3.1.3 导数的几何意义名师教学设计

2.2 导数的几何意义教学设计

安远二中廖秋林老师

一、教学目标：

1．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；

2．理解曲线在一点的切线的概念；

3．会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：理解导数的几何意义

教学难点：求简单函数在某点出的切线方程

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）复习：导数的概念及求法。

（二）探究新课

设函数yf(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为y，如右x图所示，它是过A（x0，f(x0)）和B（x0＋Δx，f(x0x)）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线yf(x)在点A处的一条割线。

如右图所示，设函数yf(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线yf(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l。直线l和曲线yf(x)在点A处“相切”

，称直线l为曲线yf(x)在点A处的切线。该切线的斜率就是函数yf(x)在x0处的导数f(x0)。

函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。函数yf(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

1.导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

(1)求出P点的坐标; (2)求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim线在点(x0,f(x0))的切线的斜率；

(3)利用点斜式求切线方程.x0f(x0x)f(x0)k

，得到曲x

例1.已知函数yf(x)x2， x0＝－2。

（1）分别对Δx=2，1，0.5求yx2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并画出过点（x0，f(x0)）的相应割线；

（2）求函数yx2在x0＝－2处的导数，并画出曲线yx2在点（－2，4）处的切线。

解：（1）Δx=2，1，0.5时，区间[x0，x0＋Δx]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。yx2在这些区间上的平均变化率分别为

f(0)f(2)02(2)22，

22f(1)f(2)(1)2(2)23，

11f(1.5)f(2)(1.5)2(2)23.5. 0.50.5其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l3. （2）yx2在区间[-2，-2＋Δx]上的平均变化率为

(2x)2(2)24x(x)24x. xx令Δx趋于0，知函数yx2在x0＝－2处的导数为-4。

曲线yx2在点（-2，4）处的切线为l，如右图所示。

例2求函数yf(x)2x3在x=1处的切线方程。

解：先求y2x3在x=1处的导数：

f(1x)f(1)2(1x)3213xx213x3(x)2(x)32

x66x2(x)2令Δx趋于0，知函数y2x3在x=1处的导数为f(1)6。

这样，函数y2x3在点（1，f(1)）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，2），斜率为6. 因此切线方程为 y-2=6(x-1). 即 y=6x-4. 切线如图所示。

（三）小结：函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。函数yf(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。

（四）练习：课本P62练习：1、2. （五）作业：课本P63习题2-2中A组4、5 五、教后反思：