试卷讲评优秀公开课教案

新人教版九年级数学上册《第21章

一元二次方程》单元测试卷

一、精心选一选：

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（

）

A．ax+bx+c＝0

C．3（x+1）＝2（x+1）

222B．x+2x＝x﹣1

D．+﹣2＝0

22

2．用配方法解方程：x﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（

）

A．（x﹣2）＝2

2B．（x+2）＝2

2C．（x﹣2）＝﹣2

2D．（x﹣2）＝6

23．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（

）

A．36（1﹣x）＝36﹣25

C．36（1﹣x）＝25

222B．36（1﹣2x）＝25

D．36（1﹣x）＝25

2

4．若关于x的一元二次方程x+（k+3）x+k＝0的一个根是﹣2，则另一个根是（

）

A．2

B．1

2C．﹣1

D．0

5．若b（b≠0）是方程x+cx+b＝0的根，则b+c的值为（

）

A．1

B．﹣1

2C．2

D．﹣2

6．关于x的方程（a﹣5）x﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（

）

A．a≥1

2B．a＞1且a≠5

2C．a≥1且a≠5

D．a≠5

7．已知关于x的方程x﹣（2k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（

）

A．﹣2

2B．﹣1

2C．0

D．1

8．若方程x+mx+1＝0和方程x﹣x﹣m＝0有一个相同的实数根，则m的值为（

）

A．2

B．0

C．﹣1

2D．无法确定

9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（

）

A．x（13﹣x）＝20

C．

B．D．

10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x+（2m﹣1）x+m+3＝0的根，则m的值为（

）

第1页（共17页）

22

A．﹣3

C．5或﹣3

二、细心填一填：

11．一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是

，该方程根的情况是

．

12．方程2﹣x＝0的解是

．

13．配方x﹣8x+

＝（x﹣

）．

14．设a，b是方程x+x﹣2013＝0的两个不相等的实数根，则a+2a+b的值为

．

15．若一个三角形的三边长均满足方程x﹣6x+8＝0，则此三角形的周长为

．

16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为

cm．（精确到0.1cm）

三、耐心答一答：

17．用指定的方法解方程

（1）（x+2）﹣25＝0（直接开平方法）

（2）x+4x﹣5＝0（配方法）

（3）（x+2）﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）

（4）2x﹣7x+3＝0（公式法）

18．当x取什么值时，代数式x（x﹣1）与（x﹣2）+1的值相等？

19．已知关于x的一元二次方程5x+kx﹣10＝0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．

20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m）

与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h＝7t﹣t．

（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；

（2）经过多少秒钟，球又落到地面．

21．已知关于x的方程x﹣2（m+1）x+m＝0

（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；

（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

22．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．

第2页（共17页）

222222222222222B．5

D．﹣5或3

23．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．

24．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．

（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；

（2）求3月份时该电脑的销售价格．

25．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1＝﹣x+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2＝at+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

t

y2

（1）求a、b的值；

（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？

（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？

（说明：毛利润＝销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

1

21

2

44

3

69

22第3页（共17页）

《第21章

一元二次方程》单元测试卷

参考答案与试题解析

一、精心选一选：

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（

）

A．ax+bx+c＝0

C．3（x+1）＝2（x+1）

22B．x+2x＝x﹣1

D．+﹣2＝0

22

【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．

一元二次方程必须满足三个条件：

（1）方程是整式方程；

（2）未知数的最高次数是2；

（3）只含有一个未知数．

由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．

【解答】解：A、a＝0时，不是一元二次方程，错误；

B、原式可化为2x+1＝0，是一元一次方程，错误；

C、原式可化为3x+4x+1＝0，符合一元二次方程的定义，正确；

D、是分式方程，错误．

故选：C．

【点评】判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．

2．用配方法解方程：x﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（

）

A．（x﹣2）＝2

222B．（x+2）＝2

2C．（x﹣2）＝﹣2

2D．（x﹣2）＝6

2【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．

【解答】解：把方程x﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x﹣4x＝﹣2，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x﹣4x+4＝﹣2+4，

配方得（x﹣2）＝2．

故选：A．

第4页（共17页）

2222

【点评】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（

）

A．36（1﹣x）＝36﹣25

C．36（1﹣x）＝25

22B．36（1﹣2x）＝25

D．36（1﹣x）＝25

2

【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝25，把相应数值代入即可求解．

【解答】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，

为36×（1﹣x）×（1﹣x），

则列出的方程是36×（1﹣x）＝25．

故选：C．

【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）＝b．

4．若关于x的一元二次方程x+（k+3）x+k＝0的一个根是﹣2，则另一个根是（

）

A．2

B．1

C．﹣1

D．0

222【分析】设方程的另一个根是x，那么根据根与系数的关系得到﹣2+x＝﹣（k+3），﹣2x＝k，联立它们解方程组即可求出另一个根．

【解答】解：设方程的另一个根是x，

依题意得解之得x＝1，

即方程的另一个根是1．

故选：B．

第5页（共17页）

，

【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据这个关系得到关于方程另一个根的等量关系式而解决问题．

5．若b（b≠0）是方程x+cx+b＝0的根，则b+c的值为（

）

A．1

B．﹣1

C．2

D．﹣2

2【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【解答】解：把x＝b代入方程x+cx+b＝0得到：b+bc+b＝0即b（b+c+1）＝0，又∵b≠0，∴b+c＝﹣1，

故选：B．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．

6．关于x的方程（a﹣5）x﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（

）

A．a≥1

B．a＞1且a≠5

2222C．a≥1且a≠5

D．a≠5

【分析】由于x的方程（a﹣5）x﹣4x﹣1＝0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5＝0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．

【解答】解：分类讨论：

①当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根；

②当a﹣5≠0即a≠5时，

∵关于x的方程（a﹣5）x﹣4x﹣1＝0有实数根

∴16+4（a﹣5）≥0，

∴a≥1．

∴a的取值范围为a≥1．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

7．已知关于x的方程x﹣（2k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（

）

A．﹣2

B．﹣1

C．0

第6页（共17页）

22222D．1

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．

2【解答】解：∵a＝1，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，方程有两个不相等的实数根

∴△＝b﹣4ac＝（2k﹣1）﹣4k＝1﹣4k＞0

∴k＜

∴k的最大整数为0．

故选：C．

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

8．若方程x+mx+1＝0和方程x﹣x﹣m＝0有一个相同的实数根，则m的值为（

）

A．2

B．0

C．﹣1

D．无法确定

22222【分析】两个方程有一个相同的实数根，即可联立解方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，即可求得m的值．

【解答】解：由方程x+mx+1＝0得x＝﹣mx﹣1，由方程x﹣x﹣m＝0得x＝x+m．

则有﹣mx﹣1＝x+m，即x＝﹣1．

把x＝﹣1代入方程x+mx+1＝0，

得方程1﹣m+1＝0，从而解得m＝2．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据题意建立方程组是解题的关键．

9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（

）

A．x（13﹣x）＝20

C．

B．D．

222222【分析】设平行于墙的一边为xm，那么垂直于墙的有2个边，等于（铁丝长﹣x）÷2，等量关系为：长×宽＝20，据此即可列方程．

【解答】解：平行于墙的一边为xm，那么垂直于墙的有2个边，等于（铁丝长﹣x）÷2，

∴故选：B．

第7页（共17页）

．

【点评】解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意垂直于墙的有2个边．

10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x+（2m﹣1）x+m+3＝0的根，则m的值为（

）

22

A．﹣3

B．5

C．5或﹣3

22D．﹣5或3

【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO+BO＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m+3；代入AO+BO中，得到关于m的方程后，求得m的值．

【解答】解：由勾股定理可得：AO+BO＝25，

又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m+3

∴AO+BO＝（AO+BO）﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）﹣2（m+3）＝25，

整理得：m﹣2m﹣15＝0，

解得：m＝﹣3或5．

又∵△＞0，

∴（2m﹣1）﹣4（m+3）＞0，解得m＜﹣∴m＝﹣3，

故选：A．

【点评】将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

二、细心填一填：

11．一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是

3x﹣6x+4＝0

，该方程根的情况是

无实数根

．

【分析】首先去括号移项，可得一般形式，再用根的判别式进行计算即可得该方程根的情况．

【解答】解：3x（x﹣2）＝﹣4，

3x﹣6x+4＝0，

∵△＝（﹣6）﹣4×3×4＝﹣12＜0，

第8页（共17页）

22222222222222222，

∴无实数根．

故答案为：3x﹣6x+4＝0；无实数根．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．

12．方程2﹣x＝0的解是

222

．

2【分析】先把式子移项，变成x＝2，从而把问题转化为求2的平方根．

【解答】解：移项，得x＝2

开方，得x＝±．

2【点评】主要考查直接开平方法解方程．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x＝a（a≥0）；ax＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）＝b（b≥0）；a（x+b）＝c（a，c同号且a≠0）．

法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

13．配方x﹣8x+

16

＝（x﹣

4

）．

【分析】由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方．

【解答】解：∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为﹣8，等号右边正好是一个完全平方式，

∴常数项为（﹣8÷2）＝16，

∴x﹣8x+16＝（x﹣4）．

故答案为16；4．

【点评】考查完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1，常数项是一次项系数一半的平方．

14．设a，b是方程x+x﹣2013＝0的两个不相等的实数根，则a+2a+b的值为

2012

．

【分析】根据方程的根的定义，把a代入方程求出a+a的值，再利用根与系数的关系求出a+b的值，然后两者相加即可得解．

【解答】解：∵a，b是方程x+x﹣2013＝0的两个不相等的实数根，

∴a+a﹣2013＝0，

第9页（共17页）

22222222222222

2∴a+a＝2013，

又∵a+b＝﹣＝﹣1，

∴a+2a+b＝（a+a）+（a+b）＝2013﹣1＝2012．

故答案为：2012．

【点评】本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解的定义，考虑把a+2a+b分成（a+a）与（a+b）的和是解题的关键．

15．若一个三角形的三边长均满足方程x﹣6x+8＝0，则此三角形的周长为

6，10，12

．

【分析】求△ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．

【解答】解：解方程x﹣6x+8＝0得x1＝4，x2＝2；

当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4＝10；

当2为腰，4为底时4﹣2＝2＜4+2不能构成三角形，

当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．

【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为

6.7

cm．（精确到0.1cm）

【分析】在这里下肢的长度应包括高跟鞋鞋跟的长度，即（92cm+高跟鞋鞋跟的高度）÷（153cm+x）≈0.618，求出结果精确到0.1cm即可．

【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x，

根据题意列方程得：（92+x）÷（153+x）≈0.618，

解得x≈6.69，精确到0.1cm为，6.7cm．

【点评】利用黄金比例关系求出高跟鞋鞋跟的最佳高度．

三、耐心答一答：

17．用指定的方法解方程

（1）（x+2）﹣25＝0（直接开平方法）

第10页（共17页）

2222222

2（2）x+4x﹣5＝0（配方法）

（3）（x+2）﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）

（4）2x﹣7x+3＝0（公式法）

【分析】（1）首先移项变形为（x+2）＝25的形式，根据平方根的定义即可求解；

（2）首先移项，把常数项移到等号的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半，则左边是完全平方的形式，右边是常数，再利用直接开平方法即可求解；

（3）把x+2当作一个整体，则方程左边就是一个完全平方式，即可利用因式分解法求解；

（4）首先确定a，b，c的值，再检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．

【解答】解：（1）（x+2）﹣25＝0（直接开平方法）

x+2＝±5

∴x1＝3，x2＝﹣7．

（2）x+4x﹣5＝0（配方法）

（x+2）＝9

x+2＝±3

∴x1＝﹣5，x2＝1；

（3）（x+2）﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）

（x+2﹣5）（x+2﹣5）＝0

∴x1＝x2＝3；

（4）2x﹣7x+3＝0（公式法）

x＝

22222222x1＝3，x2＝．

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

18．当x取什么值时，代数式x（x﹣1）与（x﹣2）+1的值相等？

【分析】想根据题意得出x（x﹣1）＝（x﹣2）+1，然后把方程化简，最后运用因式分解法求出方程的解即可．

【解答】解：根据题意得：

第11页（共17页）

x（x﹣1）＝（x﹣2）+1，

3x（x﹣1）＝2（x﹣2）+6，

3x﹣3x＝2x﹣4+6，

3x﹣3x﹣2x+4﹣6＝0，

3x﹣5x﹣2＝0，

（3x+1）（x﹣2）＝0，

3x+1＝0或x﹣2＝0，

x1＝﹣，x2＝2．

【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程，解题时要能根据题意列出方程，关键是通过因式分解把一元二次方程转化成两个一元一次方程，此题较简单．

19．已知关于x的一元二次方程5x+kx﹣10＝0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1•x2＝﹣2，解可得方程的另一根，再由两根之和为﹣，解可得k的值．

【解答】解：根据二次方程根与系数的关系，可得x1•x2＝﹣2，x1+x2＝﹣，

而已知其中一根为﹣5，有（﹣5）•x2＝﹣2，可得x2＝，

又有x1+x2＝﹣，解可得k＝23；

答：k＝23，另一根为．

【点评】主要考查了根的判别式和根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝．把所求的代数式变形成x1+x2，x1x2的形式再整体代入是常用的方法之一．

20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m）

与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h＝7t﹣t．

（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；

（2）经过多少秒钟，球又落到地面．

【分析】（1）把h＝10代入函数解析式h＝7t﹣t解方程即可解答；

（2）把h＝0代入函数解析式h＝7t﹣t解方程，求得两根去最大的即可解决问题．

【解答】解：（1）把h＝10代入函数解析式h＝7t﹣t得，

第12页（共17页）

22222222

27t﹣t＝10，

解得t1＝2，t2＝5，

答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10m；

（2）把h＝0代入函数解析式h＝7t﹣t得，

7t﹣t＝0，

解得t1＝0（为球开始飞出时间），t2＝7（球又落到地面经过的时间），

答：经过7秒钟，球又落到地面．

【点评】此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解即是抛物线与x轴交点的横坐标．

21．已知关于x的方程x﹣2（m+1）x+m＝0

（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；

（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b﹣4ac≥0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围．

（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m＞﹣，在m＞的范围内选取一个合适的整数求解就可以．

【解答】解：（1）由题意知：△＝b﹣4ac＝[﹣2（m+1）]﹣4m＝[﹣2（m+1）+2m][﹣2（m+1）﹣2m]＝﹣2（﹣4m﹣2）＝8m+4≥0，

解得m≥∴当m≥

（2）选取m＝0．（答案不唯一，注意开放性）

方程为x﹣2x＝0，

解得x1＝0，x2＝2．

【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

2、第2小题属于开放题，注意答案的不唯一性．

第13页（共17页）

222222222．

时，方程有两个实数根．

222．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．

【分析】根据题意可知△＝b﹣4ac＝0，即可推出4（b﹣a）﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0，通过整理可推出（b﹣a）（c﹣a）＝0，且c≠b，即可推出a、c，此三角形为等腰三角形．

【解答】解：∵x的方程（c﹣b）x+2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b﹣4ac＝0，且c﹣b≠0，即c≠b．

∴4（b﹣a）﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0，

则4（b﹣a）（b﹣a+c﹣b）＝0，

∴（b﹣a）（c﹣a）＝0，

∴b﹣a＝0或c﹣a＝0，

∴b＝a，或c＝a．

∴此三角形为等腰三角形．

【点评】本题主要考查根的判别式，关键在于根据题意推出4（b﹣a）﹣4（c﹣b）（a﹣b）＝0，然后进行正确的整理．

23．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．

222222

【分析】本题可根据地毯的面积为80平方米来列方程，其等量关系式可表示为：（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）＝地毯的面积．

【解答】解：设花边的宽为x米，

根据题意得（2x+8）（2x+6）＝80，

解得x1＝1，x2＝﹣8，

x2＝﹣8不合题意，舍去．

答：花边的宽为1米．

【点评】本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

第14页（共17页）

24．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．

（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；

（2）求3月份时该电脑的销售价格．

【分析】（1）由题意可得，1月份的销售额为：400000元；设1月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售额为：400000（1+x）；三月份的销售额为：400000（1+x）（1+x），又知三月份的销售额为：576000元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；

（2）已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台，所以设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，那么三月份销售量为：100+10×＝100+0.1y台．即：此时，三月份的销售额为：（4000﹣y）（100+0.1y），又知三月份的销售额为：576000元，由此等量关系列出方程求出y的值，所以三月份的销售价格为：4000﹣y元．

【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，

由题意得：400000（1+x）＝576000，

1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）

∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%；

（2）设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，

由题意得：（4000﹣y）（100+0.1y）＝576000，

y﹣3000y+1760000＝0，（y﹣800）（y﹣2200）＝0，

∴y＝800或y＝2200，

当y＝2200时，3月份该电脑的销售价格为4000﹣2200＝1800＜3000不合题意舍去．

∴y＝800，3月份该电脑的销售价格为4000﹣800＝3200元．

∴3月份时该电脑的销售价格为3200元．

【点评】本题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程；判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

第15页（共17页）

22

25．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1＝﹣x+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2＝at+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

t

y2

（1）求a、b的值；

（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？

（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？

（说明：毛利润＝销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

【分析】（1）根据表中的数据代入y2＝at+bt后，得到关于a，b的二元一次方程，从而可求出解．

（2）设干果用n天卖完，根据两个关系式和干果共有1140千克可列方程求解．然后用售价﹣进价，得到利润．

（3）设第m天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，从而可列出不等式求解．

【解答】解：（1）根据表中的数据可得．

答：a、b的值分别是1、20；

（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．

﹣n+40n+n+20n＝1140

n＝19，

当n＝19时，y1＝399，y2＝741，

毛利润＝399×8+741×6﹣1140×6＝798（元），

第16页（共17页）

222221

21

2

44

3

69

答：卖完这批干果获得的毛利润是798元．

（3）设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m﹣1天的销售量，

即甲级水果第m天所卖出的干果数量：（﹣m+40m）﹣[﹣（m﹣1）+40（m﹣1）]＝﹣2m+41．

乙级水果第m天所卖出的干果数量：（m+20m）﹣[（m﹣1）+20（m﹣1）]＝2m+19，

（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6，

解得：m≥7，

答：第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．

【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程组求出a和b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解．

2222

第17页（共17页）