1.2.1 充要条件主要内容及教案内容

§1.3充要条件

霸州市第一中学 董海生

数学分析

1.数列与函数的关系；数列是定义在正整数集或正整数集子集上的离散函数，作为一种自变量‘等距离’的离散取值的函数，它丰富了学生所接触函数概念的涵义。基于此，数列可用图像表示，数列的通项公式实际上是相应函数的解析式，递推公式也是表示相应函数的一种方式，这也说明一个函数并不一定存在直接表示因变量和自变量关系的解析式。借助函数的思想和方法研究数列有时简单易行，如求数列的单调性、最大项等，都能回归到函数这一本质上。另外很多连续函数也可通过离散化将其变成数列问题进行进一步研究。数列也是初等数学和高等数学联系最紧密的内容之一，在一定程度上可以衡量一个学生进一步深造和发展的潜力。

2.数列应用的广泛性；数列是刻画实际问题的重要模型，其中等差数列、等比数列是最基本的模型，数列本身也是一个数学的研究对象，斐波那契数列就是一个非常重要的数学研究对象，在经济生活中许多问题都可以归结为数列模型，例如，存贷款模型、教育储蓄模型、分期付款模型等；另外生物学中的细胞分裂、环境科学中的环保问题、化学中的浓度问题等很多都可以抽象为数列问题。

3.研究数列所体现的思想和方法；数列的生成体现着递推思想，如差分数列的研究就依赖于递推思想。等差数列和等比数列的性质有很多类似的地方，等比数列的性质可类比等差数列的性质得到，体现了类比思想。在解决数列问题时，经常综合运用观察、归纳、猜想、证明、迭代等方法，突出了函数思想、方程思想、转化思想等，是提升学生数学素养的好题材。

教育分析

数列的教育价值主要体现在：

1.有助于学生认识数列与经济生活等现实世界的联系，培养和发展学生利用数列的知识解决身边实际问题的能力。让学生真正感受到数学源自生活、服务于生活，体会到数学的工具和应用价值，逐渐培养善于从身边发现问题，解决问题的探究意识，增强学习数学的兴趣。

数列是一种离散函数，它是重要的数学模型。日常生活中遇到的大量实际问题如贷款、利率、折扣、人口增长、放射物的衰变等都可以用等差数列和等比数列来刻画。通过这部分的学习，认识和体会到数学与生活的紧密联系，能够用基本的数列知识认识、分析和解

决身边的实际问题。

在数列的应用中，关键是把实际问题转化成数学问题，这种转化对于实际问题的解决是非常重要的，通过本章知识的学习，将进一步提高学生的数学建模能力。

2.有助于学生认识和理解函数思想在解决数列问题中的重要作用。

数列为学生提供了离散函数模型，对照一次函数学习等差数列，对照指数函数学习等比数列，会对等差数列、等比数列的性质有更深入的理解和认识。另外，对于连续函数的某些问题也可以通过将其离散化，研究与之对应的、较为简单的数列问题，从而解决连续函数的问题，或为连续函数问题的解决提供思想和方法。

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种建立在离散定义域上的特殊函数与函数方程思想紧密相连；另一方面,学习数列也是提高数学再创造学习能力和实际应用能力的重要载体。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念、数列的函数特征的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展。同时等差数列也为以后学习等比数列提供了“类比”的学习方法。

二、学生学习情况分析

教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学***部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。

三、教学目标

1.知识与技能

让学生去探究、去发现等差数列的概念 ,并能利用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列；通过优化问题设计 ,探究等差数列的通项公式 ,培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。

2.过程与方法

通过经历和体验等差数列概念和通项公式的探索过程 ,让学生体会归纳与抽象的重要性 ,并在探索的过程中学会学习、学会探究;在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。

3.情感态度与价值观

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在教学过程中注重师生、生生间交流 ,鼓励学生大胆尝试、发现规律 ,培养他们积极进取的探索精神 ,激发学生学习数学的兴趣 ,增强解决问题的信心 ,并获得成功的积极情感体验. 四、教学重点与难点

1.教学重点：

等差数列的概念；等差数列的通项公式的推导过程及应用。

2.教学难点：

理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；理解等差数列是一种函数模型。

五、教学过程

1.创设情境，引出问题

问题1：研究发现我国儿童年龄在2-12周岁之间，其标准的身高、体重大致成规律性变化如下表：

年龄

身高（cm）

2

84

3

91

4

98

5

105

6

112

…

…

11

147

12

体重（kg）

12

14

16

18

20

…

30

你能预测12岁儿童的身高和体重吗？

问题2：1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会，

举行奥运会的年份分别是：1896，1900，1904，…，2008，2012，…，你能预测出第31届奥运会的时间吗？

2.探究分析，抽象共同特点

通过师生、生生探究、讨论得到以下结论，问题1和问题2可以抽象出三个数列：(1) 84，91，98，105，112，…，147 (2) 12，14，16，18，20，…，30 （3）1896，1900，1904，…，2000，2004，2008，2012，…

这些数列的共同特点是任一项减前一项的差都相等。于是板书新课——等差数列。

3.给出概念、举例强化

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

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符号表示：数列数列na若满足aannn1d,(n2)，那么数列a就叫做等差数列。

na若满足an1and，那么数列an就叫做等差数列。

师：前面三个数列的公差分别是多少？

生：7，2，4

师：你还能举出等差数列的例子吗？（学生举出例子，并说出它们的公差）

在学生举出例子后，对举例过程进行优化，引导其先确定首项和公差。

师：你在举例子时，应最先确定哪些量，然后给出整个数列？

生：首项和公差。

4.应用概念、尝试推导

对于以上的等差数列，你能不能用通项公式将它们表示出来呢？引导学生由上面分析的结果即从首项和公差出发来表示。

方法一：（归纳法）引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

a1a1,

a2a1d,

a3a2d(a1d)da2d,

a4a3d(a12d)da3d,

由此我们可以猜想得出：以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为

ana1(n1)d

也就是说，只要我们知道了等差数列的首项a1和公差d，那么这个等差数列的通项an就可以表示出来了。…

方法二；迭代法 an=an-1+d=an-2+2d=…=a1+（n-1）d

方法三：（累加法）根据等差数列的定义，以d相等列等式

da2a1,da3a2,da4a3,

danan1,以上等式左右两侧分别相加得到，

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(n1)d(anan1)(a4a3)(a3a2)(a2a1)ana1,

即ana1(n1)d

方法四：（解析法）以上两种方法都是从等差数列的公差出发考虑的，数列是一种特殊的函数，可引导学生画出给出等差数列例子的函数图像，

学生讨论发现共同特征，即等差数列的图像为在一条直线上的一些间隔的点，即还是满足直线的特点，当自变量n增加1时，函数值增加d，即d为直线的斜率，根据直线方程的点斜式可得：

aadn1n1，即ana1(n1)d。这里的已知点选择的是1,a1，同样我们也可选择任一个已知点m,am，同理可得：

aadnmnm，即anam(nm)d，可验证正确。

方法五：（函数法）由方法四也可以这样认为，等差数列必满足一次函数关系，自变量为n，函数值为an，从而可设anknb，

当n=1时，有a1kb，

当n=2时，有a22kb，做差得d=k，ba1d，有andna1d

即ana1(n1)d

5.应用巩固、课题检测

讲练结合，提高学生的知识应用水平。

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例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项. ⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a208(211)(3)49

⑵由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于an、a1、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。这类问题关键还是抓住a1、d这两个量，建立这两个量的方程组。

通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。

6.思想方法提炼、课堂小结

知识方面：①等差数列定义：即anan1d(n≥2) ②等差数列通项公式：ana1(n1)d

思想与方法：数列是一种特殊的函数，要把函数这一条主线贯穿于数列学习的始终；在解决具体等差数列问题时，也可以利用方程思想，抓住基本量a1、d，建立方程解决之。在得到定义和通项公式的过程中，我们也感受到了归纳和抽象这两个方法的强大功能。

七、教学反思

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理、知识迁移的能力。充分体现了以思维为主导的学数学、做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程。特别是函数思想和解析法的应用，使学生对等差数列有了更深刻、更本质的认识，将等差数列在以前的知识中找到了原型，即等差数列通项公式的本质就是一次函数、或直线的方程。

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