习题3.1特级教师教学实录

第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[备考方向要明了]

考

什

么

怎

么

考

1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合掌握过两点的直线斜率的计算公式．

考查，如2012年浙江T3等．

2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．

3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：

(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．

(2)主要是涉及直线方程和斜率.

[归纳·知识整合] 1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①一个前提：直线l与x轴相交；

一个基准：取x轴作为基准；

两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．

②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°. ③倾斜角的取值范围为[0，π)．

(2)直线的斜率

①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_α. y2－y1②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝. x2－x1

[探究]

1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？

ππθ≠知，当

θ∈0，时，θ越大，斜率越大且提示：这种说法不正确．由k＝tan θ22π为正；当θ∈2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．

2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系

[探究]

2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？

提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．

3．直线方程的几种形式

名称

点斜式

斜截式

条件

斜率k与点(x0，y0)

斜率k与截距b 两点

两点式

(x1，y1)，

(x2，y2)

截距式

截距a与b 方程

y－y0＝

k(x－x0)

y＝kx＋b y－y1＝y2－y1

x－x1x2－x1xy＋＝1

abAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)

适用范围

不含直线x＝x0

不含垂直于x轴的直线

不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

平面直角坐标系内的直线都适用

一般式

[探究]

3.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？

提示：当x1＝x2，或y1＝y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．

[自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α(

) A．等于0

πC．等于

2πB．等于

4D．不存在

π解析：选C

因为直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为. 2

2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

) A．1

C．1或3

B．4 D．1或4 4－m解析：选A

由题意知，＝1，解得m＝1. m＋23．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为(

) A．x－y－3＝0

C．x＋y＋3＝0

3－1解析：选B

直线斜率为＝－1，

0－2其方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0. 4．直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1＝________；若直线l2⊥l，则直线l2的斜率k2＝__________. 解析：∵l1∥l2，∴kl1＝tan 30°＝1∵l2⊥l，∴kl2＝－＝－3. kl答案：3

－3 33. 3B．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于________．

解析：因为kAB＝7－5x－5x－5＝2，kAC＝＝－. 44－3－1－3x－5＝2，

4A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即－解得x＝－3. 答案：－3

[例1]

(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(

) A．[0，π)

π0，

C.4π3π0，∪，π

B.44ππ0，∪，π

D.42直线的倾斜角和斜率

(2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，则直线AB的倾斜角为________；

(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．

[自主解答]

(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈π3π[0，π)，所以0≤θ

≤或≤

θ<π.

44(2)设直线AB的倾斜角为θ，斜率为k，则

m－nk＝tan θ＝＝－1. n－m又θ∈[0，π)，

3π所以θ＝. 4(3)如右图，∵kAP＝kBP＝1－0＝1，

2－13－0＝－3，

0－1∴k∈(－∞，－3 ]∪[1，＋∞)．

3π[答案]

(1)B

(2)

(3)(－∞，－3 ]∪[1，＋∞) 4

若将P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围．

解：∵P－1，0，A2，1，B0，3，

∴kPA＝1－03－01＝，kPB＝＝3. 2－－130－－1借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为，3.

3———————————————————

斜率的求法

(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；

y2－y1(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x≠x)x2－x112求斜率．

1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(

) A.3

3B.3 D．－3

31C．－3

解析：选A

设直线l的斜率为k，

sin 30°3则k＝－＝. cos 150°32．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(

) 1A.

33C．－

21B．－

32D.

3解析：选B

设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋7＝2,1＋y＝－2，

1－－31解得x＝－5，y＝－3，从而kl＝＝－. 3－5－7

[例2]

若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________. [自主解答]

因为两直线平行，

所以有a(a－1)＝2，

即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1. [答案]

2或－1 ———————————————————

直线的平行与垂直的判断及应用

用一般式确定两直线位置关系的方法

3．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________. 解析：k1＝tan 45°＝1，k2＝m＋1，

3＋2m＋1∵l1⊥l2，∴k2＝＝－1，解得m＝－6. 3＋2答案：－6 4．已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．

解析：由题意知，kAB＝解得m＝－8. 答案：－8

1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系

4－m＝－2，

m＋2

(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．

(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α

k 0°

0

0°<α<90°

k>0

90°

不存在

90°<α<180°

k<0