3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课堂实录【2】

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

一、

内容及解析

学生在学***面向量的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；要求学生掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

二、目标及解析

目标定位：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；并记住空间向量的坐标运算的规律；

目标解析：对空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3，使a1a12a23a3. 如果a1,a2,a3两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解. 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得pxaybzc. 把{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量. 三、问题诊断

学生存在的主要问题是理解空间向量基本定理，教学中应与平面基本定理相比较，注重对比和分析。

四、教学支持条件

多媒体、尺规

五、教学过程：

（一）复习引入

问题1：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，

问题2：平面向量基本定理. 解析：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量1a1和2a2，使a1a12a2. 如果a1a2时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取a1,a2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量i,j，则存在一对实数x、y，使得axiyj，即得到平面向量的坐标表示a(x,y). （二）新课讲授

问题：推广到空间向量，空间向量基本定理及坐标运算结论会如何呢？

问题1：什么是空间向量的正交分解？

解析：空间向量的正交分解：对空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量1a1、使a1a12a23a3. 如果a1,a2,a32a2、3a3，两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.

问题2：什么是空间向量基本定理？

解析：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序来源学|科|网Z|X|X|K]

实数组{x,y,z}，使得pxaybzc. 把{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量.

问题3：什么叫单位正交基底？

解析：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度

都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

说明：单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

问题4：什么是空间向量的坐标表示？

解析：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k．

说明：空间中相等的向量其坐标是相同的．

讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

例题讲解：课本P94 例4 . （解略）

设计意图：掌握空间向量的基本定理。

变式训练：：课本94页练习第1题。

六、课堂小结

1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．

2．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：

(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．

(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0. 七、目标检测

课本P102 练习2、3题 .

八、配餐作业

A组

1．

设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，OG＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( ) 且OG=3GG1，若111333A．(，，) B．(，，) 444444111222C．(，，) D．(，，) 333333来源学科网ZXXK][来源:Z+xx+k.Com][来源:学科网ZXXK]

2．在以下3个命题中，真命题的个数是( ) ①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；

②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；

③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．

A．0 B．1 C．2 D．3 3．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( ) A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a

C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c D．a＋b＋c，b，c

答案 C 4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( ) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) B组

5. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，AO＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

6. 从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ＝a，＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝__________________.

C组

9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，试问向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？并说明理由．

（1）用向量

a，b，c，表示D1B,EF；

（2）若D1F= x a +y b +z c，求实数x,y,z.

[来源:学科网]