习题3.2优秀教案范文

各位评委，各位老师大家好，我是高2016级孙甲。我今天说的题是是2018年高考数学全国卷III的第19题，基于高考立体几何均以中等或中等偏下题目出现。在引入空间向量解决求角问题后又极大降低了学生空间想象能力方面的要求，立体几何题作为基础题，它的分数是所有学生都必须尽力争取的。

这是2018年高考数学全国卷III的第19题试题来源于选修2-1 119页B组第3题

如图在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA底面ABCD，且SAABBC1，AD0.5。

⑴求四棱锥SABCD的体积；

⑵求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值。

S

CB

AD图中的二面角的棱并没有直接给出

高考真题

如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

试题分析：1、知识层面：考查空间几何体的结构特征；

考查面面垂直的性质定理、线面垂直、面面垂直的判定定理；

利用向量法或几何法求二面角的三角函数值。

2、能力层面：逻辑推理能力、空间想象能力

3、思想层面：考查学生数形结合和转化化归思想

4、核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算

考纲分析：该题第一问如果使用几何法证明则考查学生对线面垂直性质定理，线面垂直、面面垂直判定定理的理解和掌握，2018考试大纲这部分的要求是理解并能够证明。如果采用向量法证明第一问和第二问则体现了考纲中对能用向量方法证明有关直线和平面位置关系，能用向量方法解决平面与平面夹角的计算问题这方面的要求。

试题定位：该题在整个试卷中难度适中，试题对中等生和中等以下学生区分度较高

试题讲解：（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

基本思路：

一、几何法：

平面AMD⊥平面BMCMD平面BMC

面ABCD与半圆弧所在平面垂直可得MDBC

圆的性质可得MDCM几何法主要考查学生对问题和条件的转化和利用，

考查学生应用空间点线面的性质及定理解决问题的能力。

二、定义法：证明两个半平面所成的二面角为90

几何法主要考查学生空间想象能力。

三、向量法：证明两个半平面的法向量相互垂直。

向量法主要考查学生数形结合解决问题的能力。

第一问解题过程：一、几何法

⑴证明：

平面CMD平面ABCD,交线为CD

ABC为D正方形

BCCD

BC平面ABC

D

BC平面CM

D

以上使用面面垂直性质定理

DM平面CMD

DMBC

CD为半圆直径，M为圆弧上异于C、D的点

BC、CM为平面BM内两条相交直线C

DMCM

DM平面BM

C

以上使用线面垂直的判定定理

DM平面AM

D

平面AMD平面BMC

以上使用面面垂直的判定定理

本题的难点在于：在一个面中找出与另外一个平面垂直的直线。

难点突破：深入挖掘题目中的垂直关系，从线线垂直入手逐个进行尝试。

二、定义法

⑴证明：过点M作直线m//AD

和平面BM的交线，C

由线面平行的性质定理可得m是平面AMD

由解法一知MCm,DM，则DMC是二面角DmC的平面角，m圆中直径所对的圆周角是直角

DMC90

平面BM

C

平面AMD本题的难点在于：通过线面平行的性质定理找到两个平面的交线，进而找到二面角的平面角。

利用定义法求二面角要先证后求，这对于理科生来说相对困难一些。

三、向量法

⑴以D为原点DA，垂直于底面竖直向上方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系

,DC

设M(0,a,b满)足a1b21求出平面AMD的法向量m(0,b,a)2平面MBC的法向量n(0,b,a

)2mnb2a22a0

mn

平面AMD平面BMC

（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

基本思路：一、向量法

将二面角问题转化为两个半平面法向量夹角问题；

二、几何法

寻找两个半平面的交线进而寻找二面角的平面角，通过：“作、指、证、求”四个步骤求出二面角平面角的正弦值；

S投影面积

三、投影面积法

找出面MAB在半圆面内的投影，利用公式co

sS斜面面积求解二面角的余弦值

注意：投影面积法并不是教材中的方法，属于二手结论。实际能否在大题中直接使用

还有待商榷，所以不推荐学生在大题中使用。

第二问解题过程：

一、向量法

⑵解：以D为坐标原点，DA方向为x轴建立空间直角坐标系

当三棱锥MABC体积最大时，M为CD的中点

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)

AM(2,1,1),AB(0,2,0),DA(2,0,0)

设平面MAB的法向量为n(x,y,z)

nAM2xyz0则有

nAB2y0n(1,0,2)

cosn,DADA是平面MCD的法向量

nDAnDA5

525

5面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是小结：向量法是我们重点推荐的方法，具有证明步骤少，思维量小的特点，但学生容易在计算中出现错误，平时应多加练习。

二、几何法

⑵解：当点M与圆心O的连线MODC时三棱锥的体积最大。过点M作EF//DC，由线面平行的性质可得EF为二面角的棱，取AB的中点P易证MOEF,PMEF，则PMO为所求二面角的平面角，在直角三角形PMO中，MO1,OP2,MP5，所以sinPMO25

5

本题难点：对于没有正式学过三垂线定理的理科生来说，找到两个平面的交线，做

出并证明二面角的平面角存在一定的难度。

三、投影面积法

⑵解：由题意将二面角的平面角设为

由面面垂直的性质定理可得

AD平面MDC,BC面MDC

MAB在MDC上的投影图形正好是MDC，

cosSMDC125

sin

SMAB55方法总结：无棱二面角的处理方法：

向量法：将空间角转化为向量角；

几何法：寻找二面角的平面角，根据线面平行性质定理作出二面角的棱，根据三垂线定理

作出二面角的平面角。

投影面积法：在一个半平面内找到另外一个半平面的投影面，投影面与斜面面积比即为二面角的余弦值。

变式训练一：运动变化，构造函数求最大值

点M是CD上的动点，求面MAB与面MCD所成角的正弦值的取值范围。

变式训练二：已知正弦值求点的位置

当面MAB与面MCD所成角的正弦值是25时，求点M所在的位置。

5失分点分析：本题看起来简单但对基本功不扎实的学生来说却很容易失分。第一问首先利用面面垂直的性质定理证明线面垂直AD平面DCM需要说明三个条件，其次由线面垂直的定义结合圆的性质推出线面垂直CM平面ADM需要说明五个条件，最后根据面面垂直的判定定理得到面面垂直需要两个条件，能否严谨规范地写出所有步骤是对考生基本功的检验。第二问虽然求二面角正弦值免去了对二面角是钝角还是锐角的检验，但也因为最终结果要求的不是余弦值而是正弦值增加了一个步骤，对学生认真审题提出了要求。

高考出题情况：近三年的全国高考数学试卷中，全国卷I难度最低出在第18题

全国卷II和全国卷III难度相当出在第19题

试题的共性是第二问大多要利用已知条件、数值判断或者解出某点的坐

标，借以增加考点和运算量。

小结：从近三年全国卷的试题情况来看，立体几何的难度维持在中等或中等偏下。

对学生的空间想象能力相比过去有一定的程度的降低。

第一问侧重于考查空间点线面的位置关系主要以几何证明为主；

平时教学和复习中应该对学生解题过程的规范提出具体要求。

第二问侧重于考查空间角求值问题，引入空间向量虽然降低了思维和证明的难度，但同时增加了运算量。

平时教学和复习中应该增加练习，提高学生的数学运算能力。