习题1.2课堂实录【2】

命题及其关系、充分条件与必要条件

考纲要求：1.理解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

1．命题

(1)命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

(2)四种命题及相互关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

2．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

[自我查验]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(

) (3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(

) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(

) pp⇒q且qpp

q且q⇒p

p⇔q

q且q

p

(6)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√

(6)√

2．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空) 解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．

答案：充分

充要

3．写出命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性．

解：(1)逆命题：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题．

(2)否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题．

(3)逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．

4．在下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；

(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；

(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：a x2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．

答案：(1)必要

(2)充分

(3)充要

[典题1]

(1)命题“若a>b则a－1>b－1”的否命题是(

) A．若a>b，则a－1≤b－1 B．若a>b，则a－1

) A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0 B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 (3)下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

(4)已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(

) A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题

B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题

C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题

D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题

[听前试做]

(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．

(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0. (3)对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．

(4)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

答案：(1)C

(2)D

(3)B

(4)D

(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

[典题2]

(1)(2015·四川高考)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2016·淄博模拟)“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[听前试做]

(1)∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a >3b >3”23是“loga3

(2)“a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．

答案：(1)B

(2)A

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．

①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；

②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；

③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件．

1．(2015·安徽高考)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

由2x＞1，得x＞0，所以p⇒q，但q故选A. 2．设{ an }是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选D

当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{ an }是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{

an

}为递增数列”的既不充分也不必要条件．

p，所以p是q的充分不必要条件，

[典题3]

(1)(2016·南昌模拟)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是(

) A．[21，＋∞)

B．[9，＋∞) C．[19，＋∞)

D．(0，＋∞) (2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[听前试做]

(1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不1－m≤－2，必要条件，所以有解得m≥9. 1＋m≥10.

(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 1－m≤1＋m，则1－m≥－2，∴0≤m≤3.1＋m≤10，

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

答案：(1)B

(2)[0,3] [探究1]

本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，m＝3，∴∴

1＋m＝10，m＝9，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[探究2]

本例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P⇒S且S∴[－2,10]

P.

[1－m,1＋m]．

1－m≤－2，1－m<－2，∴或

1＋m>101＋m≥10.

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

由充分条件、必要条件求参数．解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中

的等号是否能够取得，决定着端点的取值．

已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是(

) A．[1，＋∞)

B．(－∞，1] C．[－3，＋∞)

D．(－∞，－3) 解析：选A

法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，，因此a≥1. 法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C；同理，取a＝－4，排除D；选A.

——————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————

[方法技巧] 1．判断四种命题间关系的方法

写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充分、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接判断“若p则q”，“若q则p”的真假即可．

(2)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A的充要条件．

[易错防范] 1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．

3．要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别．

B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q