3.1.1 变化率问题课堂实录

第三章 导数及其应用 §1.1.1变化率问题

【学习目标】

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

难点：平均变化率的概念．

【问题导学】

1.

气球膨胀率问题中

（1）气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是______________（2）如何将半径r表示为体积V的函数？

（3）当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

2：在高台跳水运动中,计算运动员在0t⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

3.设xx2x1, ff(x2)f(x1)

则平均变化率65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49yf_______________ xx4.

设yf(x)，x1是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点x2，x1与x2的差记为x，即x=

或x2=

，x就表示从x1到x2的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y，即y=

；如果它们的比值y，则上式就表示为

，此比值就称为平均变x化率.

反思：所谓平均变化率也就是

的增量与

的增量的比值.

【合作探究】

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?243r

3思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v

问题3：思考：观察函数f(x)的图象P74 平均变化率

【深化提高】

过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率.

ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1

变式：已知函数f(x)x2x的图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y)，则y=

【学习小结】

1.本节知识点：平均变化率的概念

2.你的收获；感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想。

【学习评价】

自我评价

你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

当堂检测

A组（你一定行）：

1. y2x1在(1,2)内的平均变化率为（

）

A．3

B．2

C．1

D．0 2. 设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为（

A．f(x0x)

B．f(x0)x

C．f(x0)x

D．f(x0x)f(x0)

3. 质点运动动规律st23，则在时间(3,3t)中，相应的平均速度为（

）A．6t

B．6t9t

C．3t

D．9t

x

）

14.已知sgt2，从3s到3.1s的平均速度是_______ 25. yx22x3在x2附近的平均变化率是____

【教学反思】（学案检查）本节课的亮点有以下几点：

1.给学生足够时间阅读章引言，学生对本章内容有总体的把握，同时，由于是新授课，学生的知识背景缺乏，通过总体的了解，消除学生畏难情绪。

2. 根据学生实际情况教学。教材编写是要通过气球膨胀率和高台跳水两个问题引入的，而我的学生对气球膨胀理解有困难，所以，仅抓住了高台跳水这个问题引入，既解决了问题，又调动了学生的学习兴趣。

3. 以问题串的形式引导学生进行探究，体现了学生为主体，教师为主导的新课标理念。