3.1.1 变化率问题第二课时教案

课题：变化率问题

科目：数学 教学对象：高二学生 课时：1课时

提供者：张莉 单位：长治市十六中

一.教学内容分析

内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。

二.教学目标

1、

知识与技能

（1）理解平均变化率的概念；

（2）初步接触瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2、过程与方法

（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；

（2）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

（3）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情态与价值观

（1）通过学生的积极参与、学习变化率的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；

(2) 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.

（3）通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神

三.学习者特征分析

由于新教材是以模块的形式进行展开教学的，文科学生选修这一系列。文科学生的数学一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题，他们极容易在解题时钻牛角尖。而对导数，他们是充满好奇却又一无所知的状态下开始学习的，因此若能让学生主动参与到导数学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。 四.

教学策略选择与设计

为了有效实现教学目标，适宜采用启发式讲解，互动式讨论，归纳发现等授课方式，充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学气氛 准备投影仪、多媒体课件等。

1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。

2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

五、教学重点及难点

教学重点：正确理解平均变化率的概念

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。

六.教学过程设计

1.章引言

师生活动：师生共同学习本章的章引言。

设计意图：充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣。

2.形成概念

教师活动：（提出3个问题，循序渐进）

问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 学生活动：思考讨论并解决该实际生活中的问题

设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

教师活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。

问题2：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。

学生活动思考：当空气容量从增加到时,气球的平均膨胀率是多少? 设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

学生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。

问题3：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度

(单位:m)与起跳后的时间

(单位:s) 存在函数关系某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在动员的平均速度为多少？（2）在少？

，如果用运动员在这段时间里,运这段时间里, 运动员的平均速度为多

设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。

学生小组讨论探究：计算运动员在

下面的问题:

这段时间里的平均速度,并思考

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?

(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。

学生活动思考：当运动员起跳后的时间从增加到时,运动员的平均速度是多少? 设计意图：把问题3中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题2、3的共性。

教师活动：给出准确定义

定义：一般地,函数

中，式子称为函数从到的平均变化率。其中令，，则。

设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

学生活动思考：（1）的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？

设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。

学生活动思考：观察函数（图略）

的图象平均变化率表示什么?设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

3.应用举例

课堂练习一：求下列函数的平均变化率：

（1）

（2）

设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。

师生活动：教师适当点拨，学生口答。

例：求函数的平均变化率。

解：

课堂练习二：设圆的面积为，半径为，求面积关于半径的平均变化率. 设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。

师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：

（1）作差

（2）作商

最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。

4.总结提高

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。

七.教学评价设计

采用过程性评价——及时点评、延时点评和学生互评三种评价方式，全面考察学生在知识、能力、情感等方面的发展情形。

八、教学板书

变化率问题：

1、章前言

2、提出问题

问题一、

问题二、

问题三、

3、定义的引入

4、练习