2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系PPT专用教学设计内容

2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

学习目标

1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系．

知识点一

直线和平面的位置关系

思考

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

答案

三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．

梳理

直线l与平面α的位置关系

(1)直线l在平面α内(l⊂α)．

直线l与平面α相交l∩α＝A(2)直线l在平面α外l⊄α

直线l与平面α平行l∥α

知识点二

两个平面的位置关系

思考

观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？

答案

两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．

梳理

平面α与平面β的位置关系

位置关系

两平面平行

图示

表示法

α∥β

公共点个数

0个

两平面相交

α∩β＝l 无数个点(共线)

类型一

直线与平面的位置关系

例1

下列四个命题中正确命题的个数是(

) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；

④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α. A．0

B．1

C．2

D．3 答案

B 解析

如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确，故答案为B.

反思与感悟

空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断，要注意多种可能情形．

跟踪训练1

下列命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

A 解析

如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；

A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．

类型二

平面与平面之间的位置关系

命题角度1

两平面位置关系的判断

例2

α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是(

) A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β

B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

答案

D 解析

A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点．

反思与感悟

判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．

跟踪训练2

已知两平面α、β平行，且a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B 解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．

命题角度2

两平面位置关系的作图

例3

(1)画出两平行平面；

(2)画出两相交平面．

解

两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．

两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示；第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步，画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画)，如图e所示．

引申探究

在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

解

跟踪训练3

试画出相交于一点的三个平面．

解

如图所示(不唯一)．

1．下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是(

A．a⊄α，a∩α＝A，a∥α

B．a∉α，a∩α＝A，a∥α

C．a⊂α，a∩α＝A，a∥α

D．a∈α，a∩α＝A，a∥α

答案

C 解析

直线在平面内用“⊂”，故选C. 2．如图所示，用符号语言可表示为(

)

A．α∩β＝l

B．α∥β，l∈α

C．l∥β，l⊄α

D．α∥β，l⊂α

)

答案

D 3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(

) A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

答案

B 解析

由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．

4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．

答案

0或1 解析

若平面外两点所在直线与平面相交时，经过这两点与已知平面平行的平面不存在．若平面外两点所在直线与已知平面平行时，此时，经过这两点有且只有一个平面与已知平面平行．

5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．

解

根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．

1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．

2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称．

课时作业

一、选择题

1．已知直线a在平面α外，则(

) A．a∥α

B．直线a与平面α至少有一个公共点

C．a∩α＝A

D．直线a与平面α至多有一个公共点

答案

D 解析

因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D. 2．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是(

) A．平行

C．异面

答案

D 解析

直线l1，l2和平面α，有如下情况：

B．相交

D．以上都有可能

故选D. 3．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是(

) A．l与β相交

C．l在β内

答案

B 解析

∵α∥β，∴α与β无公共点．

∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β. 4．下列命题中的真命题是(

) A．若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交

B．若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面

C．若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α

D．若a∥α，b⊂α，则a∥b

答案

A 解析

若a⊂α，b⊄α，则a与b平行、相交或异面，故B不正确．对直线AB上两点A，B虽然都不在α内，但直线AB与平面α可能有公共点，故直线AB与平面α也可能相交，故C不正确．

B．l与β平行

D．无法判定

a∥α⇒a∥b或a，b异面，故D不正确．

b⊂α

5．下列命题中，正确的有(

) ①平行于同一直线的两条直线平行；

②平行于同一个平面的两条直线平行；

③平行于同一条直线的两个平面平行；

④平行于同一个平面的两个平面平行．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

B 解析

②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误．

6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是(

) A．1

B．2

C．1或3

D．3 答案

C 解析

三个平面两两相交，类似于三条直线两两相交，它们的交线有1条或3条．

7．下列命题正确的是(

) ①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；

②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；

③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；

④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交．

A．①

C．①②③

答案

B 解析

①不正确，因为有的直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断．

8.在长方体ABCD—A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) B．②③④

D．①④

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

答案

B 解析

如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D. 二、填空题

9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

答案

(1)平行

(2)相交

解析

(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．

10．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

答案

b⊂α，b∥α或b与α相交

解析

b与α有如下情况：

故答案为b⊂α，b∥α，或b与α相交．

11．互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分．

答案

8 解析

互不重合的三个平面将空间分成五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分．即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分．所以最多将空间分成8部分．

12．若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系是____．

答案

平行或相交

解析

当三点在平面α的同侧时，如图1所示，由点A，B，C到平面α的距离相等，设到α的点为D，E，F，则有构成三个长方形ABED，BCFE，CADF，于是就有AB∥DE，BC∥EF，因为两相交直线平行，所以α∥β.当三点在平面β的异侧时，如图2所示也成立．

三、解答题

13．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？

解

B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，AB1，AD1，CD1都相交，B1D1与平面AC平行．

四、探究与拓展

14．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a与b的位置关系为(

) A．相交

C．异面

答案

D 解析

∵a∥α，∴a与α无公共点．∵b∥α，∴b与α也无公共点，∴a∥b或a与b异面或a与b相交．

15．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.

B．平行

D．平行或异面或相交

解

如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.

∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中

，

A1D1∥BC，A1D1＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形．

∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1. ∴E，F，C，D1四点共面．

∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF，

∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.