复习参考题教学设计实例

空间向量的应用

考纲要求

理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值. 知识梳理

一、异面直线所成的角

1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，a′，b′所成的角的大小与点O的选择无关，把a′，b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角)．为了简便起见，点O通常取在异面直线的一条上．

π2．异面直线所成的角的取值范围：0，. 23．求异面直线所成的角的方法：①几何法；②向量法．

二、直线和平面所成的角

1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角．

特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为0°角．

π2．直线和平面所成角的取值范围：0，. 2三、二面角

1．定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为αlβ. 2．二面角的平面角．

(1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．

1

(2)一个平面垂直于二面角αlβ的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则∠AOB就是αlβ的平面角．

说明：①二面角的平面角范围是[0，π]；

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直．

3．二面角大小的求法：①几何法；②向量法．

四、三种空间角的向量法计算公式

a，b|(其中a，1．异面直线a，b所成的角θ：cos θ＝|b分别是异面直线a，b的方向向量)．

a，n|. 2．直线a与平面α(其法向量为n)所成的角θ：sin θ＝|m，n|，其中m，n为两个面的法向量．

3．锐二面角θ：(法一)cos θ＝|a，b|，其中a，b是分别在两个面内且与棱都垂直的向量．

(法二)cos θ＝|

基础自测

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(

) A．120°

B．60° C．30° D．60°或30°

解析：根据线面角的定义知，选项C正确．

答案：C

92．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形．若4P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(

)

A.

133解析：如题图所示：SABC＝×3×3×sin 60°＝. 24所以VABCA1B1C1＝SABC×OP＝∴OP＝3. 32又OA＝×3×＝1，

23339×OP＝，

445ππππ B. C. D.

12346

2

OPππ所以tan∠OAP＝＝3，又0<∠OAP<，所以∠OAP＝. OA23答案：B

3．如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，侧棱AA1＝2，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为________．

1答案：

3

4．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB＝FB＝1. 则：(1)二面角CDEC1的余弦值为________；

(2)直线EC1与FD1所成角的余弦值________.

→→→解析：(1)如图，以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系Axyz，则有D(0,3,0)，D1(0，3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)．

→→→于是，DE＝(3，－3,0)，EC1＝(1,3,2)，FD1＝(－4,2,2)．

设向量n＝(x，y，z)与平面C1DE垂直，则有

n⊥DE→→⇒n⊥EC1

3x－3y＝01⇒x＝y＝－z. 2x＋3y＋2z＝03

∴n＝－，－，z＝(－1，－1,2)，其中z＞0. 222取n0＝(－1，－1,2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．

→∵向量AA1＝(0,0,2)与平面CDE垂直，

→∴n0与AA1所成的角θ为二面角CDEC1的平面角．

→n0·AA1－1×0－1×0＋2×26∴cos θ＝＝＝. →1＋1＋4×0＋0＋43|n0|×|AA1|(2)设EC1与FD1所成角为β，则

→→EC1·FD1－＋3×2＋2×2cos β＝＝2＝

22222→→1＋3＋2×－＋2＋2|EC1|×|FD1|21. 14答案：(1)621

(2)

314zzz考点分析

考点1 求异面直线所成的角

【例1】

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：

(1)AD与BB1所成的角；

(2)AA1、AB、CC1的中点分别为E、F、G，求EF与A1G所成的角．

解析：(法一) (1)因为AA1∥BB1，

所以∠A1AD为AD与BB1所成的角．

又因为∠A1AD＝90°，

所以异面直线AD与BB1所成的角为90°.

4

(2)连接A1B、BG. 因为A1B∥EF，所以∠BA1G为EF与A1G所成的角．

设AB＝2，则A1B＝22，BG＝5，A1G＝3. 在△A1BG中，由余弦定理，得

A1B2＋A1G2－BG28＋9－52cos ∠BA1G＝＝＝2·A1B·A1G2. 2×22×3因为0°<∠BA1G≤90°，所以∠BA1G＝45°，

所以异面直线EF与A1G所成的角为45°. (法二)分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，如图．

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，

111G0，1，2，E1，0，2，F1，2，0. →＝(1,0,0)，BB→＝(0,0,1)．

(1)DA1→·→＝0，所以DA⊥BB，

因为DABB11所以AD与BB1所成角为90°.

11→1→(2)EF＝0，2，－2，A1G＝－1，1，－2，

→·→EFA21G→→所以cos〈EF，A1G〉＝＝2，

→||A→|EFG|1→，A→→，A→又0°≤〈EFG〉≤180°，所以〈EF，

11G〉＝45°所以异面直线EF与A1G所成的角为45°.

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点评：异面直线所成角的取值范围是(0°，90°]，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线a，b所成角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|.解题过程是：(1)建系；(2)求点坐标；(3)表示向量；(4)计算．

考点2 求线面角

【例2】

如图，四棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB；

(2)求AB与平面SBC所成的角的大小的正弦值．

(1)证明：取AB中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2. 连接SE，则SE⊥AB，SE＝.又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角．

由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.SD与两条相交直线AB，SE都垂直．

∴SD⊥平面SAB. (2)解析：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE. 作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，

SF＝

作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.连接SG，则SG⊥BC. 又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG. 作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.

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SF×FG321FH＝SG＝，即F到平面SBC的距离为7. 7由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，故E到平面SBC的距21离d也为7. d21设AB与平面SBC所成的角为α，则sin α＝EB＝7. (法二)以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

设D(1,0,0)，则A(2,2,0)，B(0,2,0)．

又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0. →＝(x－2，y－2，z)，BS→＝(x，y－2，z)，

(1)证明：AS→＝(x－1，y，z)，由|AS→|＝|BS→|得，

DSx－22＋y－22＋z2＝x2＋y－22＋z2，故x＝1. →|＝1得y2＋z2＝1. 由|DS→|＝2得x2＋(y－2)2＋z2＝4，

又由|BS1322即y＋z－4y＋1＝0，故y＝2，z＝2. 13于是S1，，，

22

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13于是S1，，，

2233→AS＝－1，－，，

22331→→BS＝1，－，，DS＝0，，2223，

2→·→＝0，DS→·→＝0.故DS⊥AS，DS⊥BS，

DSASBS又AS∩BS＝S，所以SD⊥平面SAB. 点评：斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影．因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设

θ为直线l与平面α所成的角，φ为直线l的方向向量v与平面α的法向量n之间的夹角，

ππ则有φ＝2－θ或φ＝2＋θ，如图所示．

考点3 求二面角的大小

【例3】

如图，四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．

(1)证明：PB⊥CD；

(2)求二面角APDC的余弦值．

(1)证明：取BC的中点E，连接DE，则四边形ABED为正方形．

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

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连接OA，OB，OD，OE. 由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，

故OE⊥BD，从而PB⊥OE. 因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.

(2)解析：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，

的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

→|＝2，则A(－2，0,0)，D(0，－2，0)，

设|ABC(22，－2，0)，P(0,0，2)，

→＝(22，－2，－2)，PD→＝(0，－2，－2)，

PC→＝(2，0，2)，AD→＝(2，－2，0)．

AP设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则

→＝(x，y，z)·n1·PC(22，－2，－2)＝0，

→＝(x，y，z)·n1·PD(0，－2，－2)＝0，

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可得2x－y－z＝0，y＋z＝0. 取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．

设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则

→＝(m，p，q)·n2·AP(2，0，2)＝0，

→＝(m，p，q)·n2·AD(2，－2，0)＝0，

可得m＋q＝0，m－p＝0. 取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．

n1·n26于是cos 〈n1，n2〉＝|n||n|＝－3. 12由于〈n1，n2〉等于二面角APDC的平面角，

6所以二面角APDC的余弦值为－3. 点评：1.几何法：将二面角问题转化求为其平面角的大小问题，要掌握以下三种基本方法：

(1)直接利用定义，如图①. (2)利用三垂线定理及其逆定理，如图②. (3)作棱的垂面，如图③.

另外，特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角．

2．向量法：(1)从平面的法向量考虑，设

n1，n2分别为平面α，β的法向量，二面角αlβ的大小为θ，向量

n1，n2的夹角为φ，则有θ＋φ＝π或

θ＝φ，如图所示．

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(2)如果AB，CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为

→，CD→〉〈AB．

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