3.1.3 空间向量的数量积运算课堂实录【3】

教学设计

课题

课型

教

学

目

标

教

学

重

点

教

学

难

点

教

学

过

程

3.1.3空间向量的数量积运算

新授课

时间

2019.06.09 课时

第一课时

1.

掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.

掌握两个向量的数量积概念、性质、计算方法及运算律，了解空间向量数量积的几何意义。

3.

通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生探索精神和创新意识，让学生体会数学的魅力.

1.

掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

2.

掌握空间向量数量积的计算方法。

如何将立体几何问题转化为向量问题；并运用空间向量的数量积公式解决立体几何中的有关问题。

（一）、回顾平面向量数量积的相关内容：

①

平面向量的夹角；

②

复***面向量数量积的有关定义及法则；

（二）、讲授新课

1）空间向量的夹角及表示

1、夹角

定义：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a,b

规定：0a,b

特别地，如果a,b0，那么a与b同向；如果a,b，那么a与b反向；如果a,b900，那么a与b垂直，记作ab。

2、向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3、数量积

1

教

学

过

程

（1）设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cosa,b叫作向量a,b的数量积，记作ab，即

ab＝|a||b|cosa,b

（2）夹角：cosa,b2）空间向量数量积运算律

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

3）空间向量数量积的性质

（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|2aa．

4）例题讲解

例1．已知：|a|=4,|b|=32,ab=12,求a,b。

答案略。

例2．已知e1和e2是两个单位向量，夹角为ab|a||b|．

，则（e1e2）(3e12e2)等于？

3答案略。

例3.已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点,SASBSC1, M,N分别是AB,SC的中点,设SAa,SBb,SCc. S

(1)试用a,b,c表示SM,BN; N

(2) 求SMBN

N

(3)求异面直线SM与BN所成角的余弦值. A

M

答案略。

B

(例3)

例4．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，

2

OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

OABC24162322

∴cosOA,BC，

855|OA||BC|所以，OA与BC的夹角的余弦值为

322．

5A

O

C

B

（例4）

（三）、思考探索

思考1: 对于三个均不为0的数a,b,c，若ab=ac，则b=c。对于向量a,b,c，由a.b=a.c，能得到b=c吗？

思考2: 对于向量a,b,c，(a.b)c=a(b.c)成立吗？向量的数量积满足结合律么？

（四）、分小组讨论（三）中思考1和思考2，并得出相应结论。

（五）、总结本课知识点。

作

业

教

学

反

思

课本第106页第3、4题. 1.

对教学过程反思。

2.

对学生学习效果反思。

3.

对教学设计反思及改进。

3