3.3.1 两条直线的交点坐标国家优质课一等奖

3.3.1

两条直线的交点坐标

整体设计

教学分析

本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 三维目标

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点. 2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力. 4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. 重点难点

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法. 推进新课

新知探究

提出问题

①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

(ⅰ) ;

(ⅱ) ;

(ⅲ) . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，并填空.

③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

(ⅰ) ≠

;(ⅱ) ;(ⅲ) ≠

. ④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点. (b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论. (c)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合. 应用示例

例1

求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0. 变式训练

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评. 例3

求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程. 点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax＋By＋C=0中系数A、B确定直线的斜率.因此，与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m=0，其中m待定.经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)=0. 变式训练

求与直线2x＋3y＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为

的直线方程. 知能训练

课本本节练习1、2. 拓展提升

问题：已知a为实数，两直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x轴上. 分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围. 课堂小结

本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点. 作业

课本习题3.3

A组1、2、3,选做4题. 设计感想

本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而

判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax＋By＋C=0中A、B、C就表示了直线的本质属性.还要注重研究方法的探讨，为学习下一章圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打基础.