2.2.4 平面与平面平行的性质教学设计思路

1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(

) A．7

B．6

C．5

D．3 解析

设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r。

由S侧＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7。

答案

A 2．(唐山市2015—2016学年度高三年级第一学期期末考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A．6π＋4

5πC.2

B．π＋4 D．2π

解析

由三视图可知，该几体体为一圆柱裁去一个小的半圆柱，1∴V＝π×12×3－2π×12×2＝2π。故选D。

答案

D 3．(2015·课标全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)

1A.8

1C.6

1B.7

1D.5

解析

由题意知该正方体截去了一个三棱锥，如图所示，设正方13体棱长为a，则V正方体＝a，V截去部分＝6a，故截去部分体积与剩余部31353分体积的比值为6a∶6a＝1∶5。

答案

D 4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依坦内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(

)

A．14斛

B．22斛

C．36斛

D．66斛

解析

设圆锥的底面半径为R，高为h。

∵米堆底部的弧长为8尺，

116∴4·2πR＝8，∴R＝π。

∵h＝5，

1621121∴米堆的体积V＝4×3πRh＝12×π×π×5。

320∵π≈3，∴V≈9(立方尺)。

320∴堆放的米约有≈22(斛)。

9×1.62答案

B 5．(2015·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为(

)

A．6＋42＋23

C．6＋62

B．8＋42 D．6＋22＋43 解析

直观图是四棱锥P－ABCD，如图所示，S△PAB＝S△PAD＝S△11＝23，SPDC＝×2×2＝2，S△PBC＝×22×22×sin 60°22四边形ABCD＝22×2＝42，因此所求棱锥的表面积为6＋42＋23。故选A。

答案

A 6．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知32π这个球的体积是3，那么这个三棱柱的体积是(

) A．963

C．243

解析

如图设球的半径为R，

B．163 D．483

432由3πR3＝3π，得R＝2。

∴正三棱柱的高h＝4。

13设其底面边长为a，则3·2a＝2，

3∴a＝43。∴V＝4×(43)2×4＝483。

答案

D 7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3。

解析

由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，18π20π22高为4，故该几何体的体积V＝3·π·2·2＋π·1·4＝3＋4π＝3。

20π答案

3

8．(2015·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A－BCD，则四面体A－BCD的外接球的体积为________。

解析

设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OA＝OB＝OC＝32＋4254π53125πOD，∴外接球的半径r＝2＝2，从而体积V＝3×2＝6。

125π答案

6

9．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________。

解析

根据题意得底面正六边形面积为63，设六棱锥的高为h，1则V＝3Sh，

1∴3×63h＝23，解得h＝1。

设侧面高为h′，则h2＋(3)2＝h′2，∴h′＝2。

1∴正六棱锥的侧面积为6×2×2×2＝12。

答案

12 10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积。

解

(1)这个几何体的直观图如图所示。

(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体。

由PA1＝PD1＝2 cm，A1D1＝AD＝2 cm，可得PA1⊥PD1。故所求几何体的表面积

1S＝5×22＋2×2×2＋2×2×(2)2

＝22＋42(cm2)，

1体积V＝2＋2×(2)2×2＝10(cm3)。

311．(2015·杭州一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等

于两底面面积之和，求棱台的体积。

解

如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，

又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，

所以S×1侧＝32×(20＋30)×DD′＝75DD′S＋S3上下＝4×(202＋302)＝3253(cm2)。

由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝3253，

所以DD′＝1333 cm，

又因为O′D′＝31036×20＝3(cm)，

OD＝36×30＝53(cm)，

所以棱台的高h＝O′O

＝D′D2－OD－O′D′2

＝1332－531033－32＝43(cm)，

由棱台的体积公式，可得棱台的体积为

V＝h3(S上＋S下＋S上S下) ＝4333×3253＋4×20×30

＝1 900(cm3)。

。

故棱台的体积为1 900 cm3。