2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计与反思

2．1.2

空间中直线与直线之间的位置关系

[学习目标]

1．会判断空间两直线的位置关系．

2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．

3．能用公理4解决一些简单的相关问题．

[知识链接]

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

[预习导引]

1．空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有且只有三种．

(1)若从公共点的数目分，可以分为

①只有一个公共点——相交．

平行.②没有公共点

异面.(2)若从平面的基本性质分，可以分为

相交.①在同一平面内

平行.②不同在任何一个平面内——异面．

2．异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．

(2)异面直线的画法

3．平行公理(公理4) 文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行，这一性质叫做空间平行线的

传递性．

a∥b⇒a∥c. 符号表述：b∥c4．等角定理

空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

5．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]．

(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 要点一

空间两条直线位置关系的判断

例1

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

答案

①平行

②异面

③相交

④异面

解析

直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．

规律方法

1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．

2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．

跟踪演练1

(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(

)

A．a∥c

线

C．a、c相交

交或异面

B．a、c是异面直D．a、c平行或相(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c(

) A．一定是异面直线

C．不可能是平行直线

线

答案

(1)D

(2)C 解析

(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．

(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c. 要点二

公理4、等角定理的应用

例2

在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，

B．一定是相交直线

D．不可能是相交直

求证：(1)EF綉E1F1；

(2)∠EA1F＝∠E1CF1. 证明

(1)连接BD，B1D1，

在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，

1所以EF綉2BD.

1同理，E1F1綉2B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綉DD1，

所以四边形BB1D1D为平行四边形，

因此，BD綉B1D1，

11又EF綉2BD，E1F1綉2B1D1，

所以EF綉E1F1. (2)取A1B1的中点M，

连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，

又B1C1綉BC，

所以MF1綉BC. 所以四边形BMF1C为平行四边形，

因此，BM∥CF1. 11因为A1M＝2A1B1，BE＝2AB，

且A1B1綉AB，

所以A1M綉BE，

所以四边形BMA1E为平行四边形，

则BM∥A1E. 因此，CF1∥A1E，

同理可证A1F∥CE1. 因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1. 规律方法

(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

跟踪演练2

如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. 证明

(1)在△ABD中，

∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴EH∥BD. 同理FG∥BD，则EH∥FG. 故E，F，G，H四点共面．

(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH. 又∵四边形EFGH是矩形，

∴EH⊥GH.故AC⊥BD. 要点三

求异面直线所成的角

例3

(2014·达州高一检测)如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD、BC所成角的大小．

解

如图，取BD的中点M，连接EM、FM. 因为E、F分别是AB、CD的中点，

11所以EM綉2AD，FM綉2BC，

则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．

AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，

在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，

13在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝2EF＝2，

3则sin∠EMH＝2，

于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°. 规律方法

1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．

2．求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线．(2)证明：用定义证明前一步的角为所求．(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．

跟踪演练3

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)AC和DD1所成的角是________；

(2)AC和D1C1所成的角是________；

(3)AC和B1D1所成的角是________；

(4)AC和A1B所成的角是________．

答案

(1)90°

(2)45°

(3)90°

(4)60°

解析

(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°. (2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.

(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°. (4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.