1.4.3 含有一个量词的命题的否定教案3

全称量词与存在量词（2）（教学设计）

1.4.3含有一个量词的命题的否定

教学目标

知识与技能目标

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

过程与方法目标

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

情感态度价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

教学重点与难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学过程：

一、复习回顾、创设情境

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“

”与“

”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，

都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、师生互动、讲解新课

问题1（课本P24探究）：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x2-2x+1≥0

分析：（1）

，否定：存在一个矩形不是平行四边形；

（2）

，否定：存在一个素数不是奇数；

（3）

，否定：xR，x2-2x+1<0；

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

问题2：写出命题的否定

（1）p：

x∈R，x2＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；

（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；

（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：

,

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

p且P或q q 词语的否定

不是

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

p或

p且

q q

词语

至多有一必有一个

至少有n个

所有x成立

个

所有x不成立

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个定

（1）p：所有人都晨练；

（2）p：xR，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；

有

个

个

成立

成立

例1

写出下列全称命题的否定：

（4）p：

x∈R，x2－x+1＝0；

解：（1） P：有的人不晨练；（2）

x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x2－x+1≠0；

例2（课本P24-25例3和例4）：判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：

（1） p：所有能被3整除的整数都是奇数；

（2） p：每一个四边形的四个顶点共圆；

（3） p：对x∈Z，x2个位数字不等于3；

（4） p：

x∈R, x2＋2x＋2≤0；

（5） p：有的三角形是等边三角形；

（6） p：有一个素数含三个正因数。

课堂练习：（课本P26练习NO：1；2）

例3写出下列命题的否定。

（1）

所有自然数的平方是正数。

（2）

任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）

对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

（4）

有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例4 写出下列命题的否定。

（1）

若x2＞4 则x＞2.。

（2）

若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3）

可以被5整除的整数，末位是0。

（4）

被8整除的数能被4整除。

（5）

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）否定：存在实数

，虽然满足

＞4，但

≤2。或者说：存在小于或等于2的数

，满足

＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个

，使

+

-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例5 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；

（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；

（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y；

假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

例6：（1）命题“xR，x2-x+3>0”的否定是

（答： xR，x2-x+3≤0）

（2）“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是

否命题是

（答：否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除

否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除）

例7：写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p：m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；

（2）q：R，使得x2+x+1≤0；

解：（1）p：m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题。

（2）q：R，使得x2+x+1>0；真命题。

例8．写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x2-2x+m=0有实数根．

（2）平方和为0的两个实数都为0．

（3）若

是锐角三角形，

则

的任何一个内角是锐角．

（4）若abc=0，则a,b,c中至少有一为0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．

解：

⑴

若m>1，则方程x2-2x+m=0无实数根，

⑵平方和为0的两个实数不都为0(假)；

⑶若

是锐角三角形，

则

的任何一个内角不都是锐角(假)；

⑷若abc=0，则a,b,c中没有一个为0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，则

或

，(真)．

真)；(

评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。

2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。

三、课堂小结、回顾反思

在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。

四、布置作业：

A组：

1、（课本P26习题1.4A组 NO：3）

2、（课本P26习题1.4B组 NO：1）

3．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（B ）

A.存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根；

B.不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

C.对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

4.【2012高考安徽文4】命题“存在实数

，使

> 1”的否定是（C）

（A）对任意实数

, 都有

>1

（B）不存在实数

，使

1

（C）对任意实数

, 都有

1

（D）存在实数

，使

1

5.【2012高考辽宁文5】已知命题p：

x1，x2

R，(f(x2) f(x1)(x2 x1)≥0，则

p是（C）

(A) x1，x2 R，(f(x2) f(x1)(x2 x1)≤0

(B) x1，x2 R，(f(x2) f(x1)(x2 x1)≤0

(C) x1，x2 R，(f(x2) f(x1)(x2 x1)<0

(D)

x1，x2

R，(f(x2) f(x1)(x2

x1)<0

6.【2012高考湖北文4】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（B）