探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学设计模板

高中二年级（上）数学选修2-1 第二章：圆锥曲线与方程——2.2.1：椭圆及其标准方程

一：知识点讲解

（一）：椭圆的定义



我们把平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于

（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的

，两个焦点F1、F2间的距离叫做椭圆的

（一般用2c表示），常数一般用2a表示。（2a2c0）



椭圆定义的集合表示：点集PM|MF2aF1F2，其中两定点F1、1MF22a，F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距。



椭圆定义的三个要点：



在平面内，MF1MF22a；



到两定点F1、F2的距离之和2a为定长；



定长2aF1F2。

例1：回答以下问题：

x2y21上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离1)

椭圆169为

。

x2y21的两个焦点，P是椭圆上的一点，则PF1F2的周长2)

设F1、F2是椭圆259为

。

第

1 页

共

11 页

x2y21上一点，F1、F2是椭圆的焦点，F1PF260，例2：已知P为椭圆求F1PF2123的面积。

（二）：椭圆的标准方程

焦点位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

x2y21（ab0）

a2b2y2x21（ab0）

a2b2圆形

焦点坐标

.

. a、b、c的关系

c2a2b2

c2a2b2

第

2 页

共

11 页



用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：

1)

作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。

x2y2y2x22)

设方程：根据上述判断设方程221（ab0）或221（ab0）

abab3)

找关系：根据已知条件建立关于a、b、c的方程组。

4)

得椭圆方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。



椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种形式：

x2y21（ab0），焦点在x轴上；



a2b2y2x221（ab0），焦点在y轴上。



2ab

它们的相同点：①焦距都为2c；②都有ab0，且abc。



它们的不同点：①两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同；②椭圆的焦点在x轴上标准方程中x项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中y项的分母较大。

例3：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

1)

(

)动点P到两定点A(0，﹣2)，B(0，2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆。

2)

(

)椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成PF1F2的周长为2a2c。

22222x2y2y2x23)

(

)两椭圆C1：221与C2：221的焦距相同，焦点也相同。

abab4)

(

)方程mxny1（m0，n0，mn）表示的曲线是椭圆。

222225)

(

)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都具备abc。

第

3 页

共

11 页

例4：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

1)

两个焦点的坐标分别为(0，﹣2)、(0，2)，并且椭圆经过点(35，)；

222)

焦点在坐标轴上，且经过A(3，﹣2)和B(23，1)两点。

（三）：与椭圆有关的轨迹方程



求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种方法：



首先通过题干中给出的等量关系，由求轨迹方程的一般方法列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；



首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a、b的值，得到标准方程。



利用定义求椭圆的方程问题：



要善于挖掘题设条件中隐含的定义要素，达到简化运算的目的；



利用定义求椭圆的轨迹方程，可避免求轨迹方程常用方法中的烦琐运算；



用定义法求椭圆方程，有时要根据实际意义去掉不符合题意的点。

例5：已知B、C是两个定点，顶点A为动点，BC6，且△ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程。

第

4 页

共

11 页

二：方法探究

方法：待定系数法求椭圆方程



确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。



“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标上，以判断方程的形式；



“定量”是指确定a、b的具体数值，常用待定系数法。



用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为：

1)

定位置：根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上；

22x2y2y2x22)

设方程：根据焦点位置，设方程为221（ab0）或221abab（ab0）；整式形式：mx2ny21（m0，n0，mn）；

3)

寻关系：根据条件列出关于a、b（m、n）的方程组；

4)

得方程：解方程组，将所求响应值代入所设方程，写出标准形式。

例：根据下列条件，求椭圆的标准方程。

1)

经过点P(1，3)，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上；

2222)

经过点(2，﹣3)且与椭圆9x4y36有共同的焦点。

第

5 页

共

11 页



习题

y21.

设F1、F2分别是椭圆E：x21（0b1）的左、右焦点，过点F1的直线交b2椭圆E于A、B两点。若AF

13F1B，⊥x轴，则椭圆E的方程为

。AF2x轴A点坐标22B点坐标代入椭圆方程b、c关系思路分析：AF

13F1Bb2的值得方程x2y232.

已知椭圆C：221（ab0），四点P1(1，1)、P2(0，1)、P(﹣1，)、3ab2P4(1，3)中恰有三点在椭圆C上，求C的方程。

222思路分析：确定椭圆上的点→待定系数法求a、b→写方程。

x2y2c23.

已知椭圆C：221（ab0）满足，且点P(0，1)在椭圆C上，求aba2椭圆C的方程。

思路分析：条件→方程组→求a、b→得方程。

第

6 页

共

11 页

三：题型分析

题型一：椭圆的定义及应用

x2y21上一点P到一个焦点的距离为2，1.

椭圆则点P到另一个焦点的距离为(

) 25A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2.

若F1、F2是两个定点，F1F26，动点M满足MF1MF26，则点M的轨迹是(

) A. 椭圆

B. 直线

C. 圆

D. 线段

x2y21上的点M到焦点F1的距离为2，O是坐标原点，N是MF1的中点，则3.

椭圆259ON的值是(

) 3

2A. 4 B. 2 C. 8 D. 4.

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(﹣4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆sinAsinCx2y2(

) 1上，则sinB259A. 1

2B. 3

5C. 3

4D. 5

45.

已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，且长轴长是焦距的2倍，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆的标准方程为

。

题型二：椭圆的标准方程

6.

已知椭圆5xky5的一个焦点坐标是(0，2)，那么k的值为(

) 22A. ﹣1 B. 1 C. 5

D. 5

第

7 页

共

11 页

7.

已知P为椭圆C上一点，F1、F2为椭圆的焦点，且F1F223，若PF1与PF2的等差中项为F1F2，则椭圆C的标准方程为(

) x2y2A. 1

129x2y2x2y2B. 1或1

129912C. x2y21

912x2y2x2y2D. 1或1

48454548x2y21表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是

。8.

方程

2mm19.

求符合下列条件的椭圆的标准方程。

1)

过点A(622，3)和B(，1)；

33x2y21有相同的焦点。

2)

过点(﹣3，2)且与椭圆94

第

8 页

共

11 页

题型三：与椭圆有关的轨迹方程

1110.

已知A(，0)、B是圆F：xy24（F为圆心）上一动点，线段AB的垂22直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(

) 242A. xy1

32B. x2y21

43C. 42xy21

3D. x2y21

34易错点一：忽视椭圆标准方程中a2和b2不等致错

11.

若方程x2ky21表示椭圆，则实数k的取值范围是

。

易错点二：忽视焦点的位置致错

12.

已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，a3b，求椭圆的标准方程。

四：习题

（一）：选择题

x2y21的焦点为F1、F2，点P在椭圆E上，PF1.

椭圆E：1F212PF2，则PF94的面积为(

) A. 2 B. 4 C. 6 D. 7

第

9 页

共

11 页

2.

“mn0”是“mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的(

) A. 充分而不必要条件

C. 充要条件

B. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

x2y21的两个焦点，点M在椭圆上，若MF1F2是直角三角形，3.

设F1、F2是椭圆2516则MF1F2的面积等于(

) A. 48

5B. 36

5C. 16 D. 48或16 5x2y24.

已知椭圆221（ab0），F1、F2为椭圆的左、右焦点，M是椭圆上任一ab点，若MF1MF2的取值范围为[﹣3，3]，则椭圆的标准方程为(

) A. x2y21

93B. x2y21

63x2y2C. 1

124D.

（二）：填空题

x2y21的两个焦点，过F1的直线l交椭圆M、N两点，则5.

已知F1、F2是椭圆43MF2N的周长为

。

x2y21的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当F1PF2为直角时，点P6.

椭圆94的横坐标是

。

x2y21上一点，F1、F2分别是椭圆的左、7.

点P是椭圆右焦点，若PF1PF212，169则F1PF2的大小为

。

第

10 页

共

11 页

（三）：解答题

x2y238.

已知椭圆C：221（ab0）经过点M(1，)，F1、F2是椭圆C的两个ab2焦点，F1F223，P是椭圆C上的一个动点。

1)

求椭圆C的标准方程；

2)

若点P在第一象限，且PF1PF2

9.

已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1、F2的坐标分别为(3，0)和(﹣3，0)。

1)

求椭圆的标准方程；

2)

若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积。

第

11 页

共

11 页

1，求点P的横坐标的取值范围。

4