探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学设计(第二课时)

为什么截口曲线是椭圆

一、教学内容解析：

圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它也是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。《为什么截口曲线是椭圆》是课后的探究与思考，在习题中考察立体几何与平面几何交汇的题型，

其实质考察的就是对圆锥曲线的认识。我们很多学生只是知道椭圆、双曲线、抛物线这一章节叫做圆锥曲线，却没有从真正意义上去了解为什么它们叫圆锥曲线。本课通过一系列的探究与实物及动画演示，让学生明白圆锥曲线的意义。

二、教学目标：

1.了解椭圆的截面定义，理解椭圆是圆锥曲线的一种。

2.引领学生以欣赏的态度完成Ddendlin的证明过程，通过猜想类比归纳解决平面与圆锥的截口曲线问题。

3. 应用截口曲线的结论解决相关问题强化对截口曲线结论的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性，提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申，精心设计，引导学生学习解题的方法及联想、类比、猜想、证明等合情推理方法。

4.借助多媒体及实物辅助教学，激发学生学习数学的兴趣。在课堂教学氛围中，努力培

养学生敢想、敢说、敢于探究发现创新的精神。

三、教学策略：

由于这部分知识较为抽象，难以理解，如果离开感性认识，学生很容易

陷入困境，降低学习激情。在教学中，我先通过生活现象引起学生兴趣，再通过还原数学家Dandelin发现证明的现场，小组讨论，多媒体展示，实物显示等多种教学手段，有意识地引导学生探究发现。Dandelin双球证明应该证明的先是平面与圆锥的问题，但是在学生认知理解上，平面与圆

柱的问题更简单一点，所以这节课先对平面与圆柱的问题进行探究发现，再让学生讨论探究发现平面与圆锥的截口曲线问题，做到了由浅入深。

四、教学重点：使学生正确理解圆锥与圆柱的截口曲线是椭圆

教学难点：Ddendlin双球证法的理解、利用所得的结论解决相关问题 五、教学过程 （一）情景一：用杯子喝水，问学生杯子的形状。

把杯子看成是一个圆柱体，水面看成是一个平面去截这个圆柱，我们把截面与圆柱侧面

的交线叫做截口曲线（动画演示）

问一：什么时候截口曲线是圆？（学生：截面与圆柱底面平行的时候。）

问二：不平行的时候大家猜想是椭圆，那你有办法证明吗？椭圆的定义是什么？

问三：如果要证明它的确是椭圆，那么我们需要找到什么确定的元素？ （二）其实啊，很早以前，有个优秀的数学家Dandelin 也遇到了这样的疑问。

四个同学一组讨论，最后每组派一个代表起来回答。

A两个球好漂亮啊

B两个球与截面有两个切点

C球可以与圆柱侧面以及截面同时相切

D发现了一个新的圆柱，圆柱的母线长相等。

E过球外一点作球的切线，所有切线长相等。

得出结论：一个平面去截圆柱，若这个平面与圆柱的底面不平行，则形成的封闭的截口曲线就是椭圆。

情景二：

把黑板看成是一个平面，手电筒的光线看成是圆锥的侧面。

我们能否证明用平面去截圆锥，截口曲线也是椭圆呢？（动画演示，小组讨论）

得出结论：一个平面去截圆锥，若这个平面与圆锥的底面不平行，则形成的封闭的截口

曲线就是椭圆。

（三）、课堂总结：

①一个平面去截圆柱，若这个平面与圆柱的底面不平行，则形成的封闭的截口曲线就是椭圆。

②一个平面去截圆锥，若这个平面与圆锥的底面不平行，则形成的封闭的截口曲线就是椭圆。