3.1.1 空间向量及其加减运算全国优秀课堂实录

3.1.1 空间向量及其加减运算

3.1.2 空间向量的数乘运算

1.已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则+(( A ) (A) (B)

(C)

(D)解析:+(

+)等于+)=+×(2)=+=.故选A. 2.下列命题中正确的个数是( A ) ①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线; ②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面; ③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误; ②中a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b为零向量,a不为零向量时,λ不存在.故 选A. 3.在平行六面体ABCDEFGH中,若=x-2y+3z( C ) ,则x+y+z等于

(A)

(B)

(C)

(D)1

解析:=++,则x=1,y=-,z=,故选C. 4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A ) (A)A,B,D (B)A,B,C (C)B,C,D (D)A,C,D 解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A. ,其中m+n=1,则5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n( A ) (A)P∈AB (B)P∉AB (C)点P可能在直线AB上

(D)以上都不对

解析:因为m+n=1,所以m=1-n, 所以=(1-n)+n即-=n(, -),即=n, 所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A. 6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D ) (A)m,n,p共线

(B)m与p共线

(C)n与p共线

(D)m,n,p共面

解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面. 7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )

(A) (B)9 (C) (D)

解析:因为a,b,c三向量共面, 所以存在实数m,n,使得c=ma+nb, 即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k). 所以所以λ=. 8.给出下列命题: ①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C. 9.下列命题: ①空间向量就是空间中的一条有向线段; ②不相等的两个空间向量的模必不相等; ③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ④向量与向量的长度相等. 其中真命题有

.

解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来. ②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可. ③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点. ④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的. 答案:①

10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则=

.

解析:如图, ==-

-(-) -=-=-c-(a-b)=-c-a+b. 答案:-c-a+b 11.已知点G是△ABC的重心,O是空间任一点,若+的值为

.

解析:连接CG并延长交AB于D,则=2所以-=2(即3=2-), =+, , +=λ,则λ+.又2

所以3=++. 因此,λ的值为3. 答案:3 12.有下列命题: ①若∥,则A,B,C,D四点共线; ②若∥,则A,B,C三点共线; ③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b; ④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0. 其中是真命题的序号是

(把所有真命题的序号都填上).

解析:根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2= -4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b.故③正确;易知④也正确. 答案:②③④

13.如图所示,已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体. (1)化简++,并在图中标出其结果;

(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,求α,β,γ的值. 解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH (如图), 则++=.

(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点, 所以=(-=+=+)+(+, =++)

所以α=,β=,γ=. 14.如图,H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH上,AG=mAH.四边形ABCD为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.

解:连接BD,BG.

因为=-且=, 所以=-. 因为=+, 所以=+-=-++. 因为所以=-+=, =+==-=m, =-++. =(-++) . -, ++. 又因为所以因为所以=m因为=-+=-+, 所以=(1-)+(-1)+. 又因为B,G,P,D四点共面,

所以1-即m=. =0, 15.求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分. 已知:如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.

证明:因为E,G分别为AB,AC的中点, 所以EGBC.

同时,HFBC,所以EGHF. 从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点.只要能证明向量=-且O为PQ的中点. 事实上,=+,=+. ,就可以说明P,O,Q三点共线因为O为GH的中点, 所以+又因为GP=0. CD,QHCD,

所以=所以+所以=-,=. ++=0. =+. 故PQ经过O点,且O为PQ的中点. 所以EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.

16.已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有( C ) ①+②与+-与是一对相反向量; 是一对相反向量; +++是一对相反向量; -与++③+④-与-是一对相反向量. (A)1个

(B)2个

(C)3个

(D)4个

解析:利用图形及向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量.故选C. 17.若P,A,B,C为空间四点,且有=α三点共线的( C ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

+β,则α+β=1是A,B,C

解析:若α+β=1,则-=β(-),即=β线;若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ整理得=(1+λ)-λ,显然A,B,C三点共,故-=λ(-),,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.故选C. 18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为

.

解析:因为A,B,C三点共线, 所以存在惟一实数k,使=k, 即-=k(-), -k=0, 所以(k-1)+又λ+m+n=0, 令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0. 答案:0 19.如图所示,在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=

(用a,b,c表示).

解析:=+=a+=a+(-)=a++)

=a+×(=a+b+c.

答案:a+b+c

20.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.

(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面; (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断. (1)证明:分别连接PE,PF,PG,PH并延长, 交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM, 因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心, 所以M,N,Q,R是所在边的中点,且=,

==,=. , 由题意知四边形MNQR是平行四边形, 所以=+=(-)+(-)

=(-)+(=(+又). =-) =--, =. 所以=+由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面. (2)解:平行. 证明如下:由(1)得所以∥, =, 所以∥平面ABCD. 又所以=-=-=, ∥. 即EF∥平面ABCD. 又因为EG∩EF=E, 所以平面EFGH与平面ABCD平行.