习题3.1课件配套优秀公开课教案设计

3.1直线的倾斜角与斜率（习题课）

------利用图形计算器研究有关直线的倾斜角和斜率的问题

天津市微山路中学 田亚品

一、内容和内容解析

1.

内容

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教 A 版必修

2 第三章《直线与方程》中 3.1 节《直线的倾斜角与斜率》的习题课，主要内容是：借助图形计算器研究倾斜角和斜率的取值范围的问题. 2.

内容解析

本节内容是学生学习直线的倾斜角与斜率的定义以及两者的关系、倾斜角的取值范围、两直线的平行和垂直内容之后，借助图形计算器HP-Prime的APP中“函数”和“几何学”功能，直观的让学生们体会由已知条件求斜率的取值范围、由已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围或者已知倾斜角的取值范围求斜率的取值范围的问题。本节内容分为以下三个环节：1、本节的知识点，请同学们独立完成知识点的填写，以及同步练习的完成，然后利用投影仪展示学生们的书写情况，为本节课探究直线的倾斜角和斜率的关系奠定基础；2、本环节可以小组合作完成，借助图形计算器绘制出正切函数的图象，完成斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或已知倾斜角的取值范围斜率的取值范围；然后再借助图形计算器完成斜率的取值范围的问题，此题型学生们呢容易弄混淆了，得到斜率的补集，所以借助手持技术，形象直观的展示出斜率的取值范围；3、通过检测题检测一下教师对本节的授课情况，同时也可进一步地了解学生的吸收情况和理解的程度。重点在于让学生在新课程改革下，充分利用现代化的手段，在手持技术的辅助下，学生们能够积极动手实践、自主探索、合作交流，更好、更有效地完成本节内容．

本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在第一个环节中体现了类比、联想的数学思想；在第二个环节中例题教学中应用到了数形结合的数学思想以及

转化与化归的数学思想方法；本节由始至终体现了合理运用信息技术，恰当地运用信息技术会达到事半功倍的效果。

基于以上分析，本节课的教学重点是：

1.

学生通过合作学习、自主探究从而探索出解决数学问题的方法，体会其中蕴含的数学思想．

2.

探究如何利用借助信息技术能够更好更有效地判断直线的倾斜角和斜率的关系. 二、目标和目标解析

1.

目标

(1)理解直线的倾斜角与斜率的概念；进一步理解直线倾斜角的唯一性和斜率的存在性；

(2)借助图形计算器HP-prime中的“高级绘图”和“几何学”的功能，进一步研究有关直线倾斜角和斜率的问题；让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力；培养学生观察、亲自动手操作和探索能力，转化思想和灵活运用所学知识；培养学生学会运用信息技术直线的倾斜角与斜率的数学问题的能力；培养学生合作探究和自主解决数学问题的能力. (3)通过对惠普-prime的使用，不仅提高教学质量，同时也提高学生们学习数学的兴趣，更好的在教学中渗透数学的核心素养。培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风；增强学生审美意识，提高数学思维的情趣，给学生以亲自动探究数学问题的机会，并享受成功后的喜悦；形成学习数学知识的积极态度．

2.

目标解析

（1）在新课程的改革中，新课标中对是值得来龙去脉提出了较高的要求，强调使用

“经历”、“感受”、“探索”等体现目标要求的行为动词，学生要体验数学的发现与创造的过程，同时也提出了学生对问题的自主探究能力的

较高要求。本节课是学生亲自利用图形计算器真正去尝试、体会发现问题-提出问题-解决问题的一次机会．直线的倾斜角与斜率问题的探究过程，在此过程中学会借助prime功能思考问题的方法，动态、直观的理解数学问题，体现数形结合的数学思想，培养学生良好的学习态度和习惯. （2）数学思想的教学一般要经过初探期-尝试期—修改期-领悟期-形成期-应用期等阶段．在整个教学过程中，让学生感受知识间的前后联系、数形结合思想的存在，得到再一次的巩固深化．

（3）通过问题的探讨，让学生体会学习知识间的联系，解决问题的方法，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风；

通过从数学角度欣赏具有天津元素的美丽家乡图片，增强学生审美体验，提高数学思维的情趣；借助信息技术等多种方法的应用，培养学生良好的思维品质，做到润物细无声、水到渠成地提高学生思维能力．

三、教学问题诊断分析

1.

学生程度

我所面临的学生是高一基础班，所授课的班级中考数学平均分处于全市平均水平的中等水平，学生层次不同，存在一定差异．不过，学生也具备一定的合作能力和自主探究能力．

2.

知识层面

（1）

学生在初中已经学习过斜截式的直线方程，知道b的几何意义；

（2）

掌握了五种直线方程和已知两点坐标的斜率公式；

（3）

掌握了直线的倾斜角和斜率的概念以及两者的关系. 3.

能力层面

（1）

具有一定的数形结合思想的基础；

（2）

初步接触利用正切函数图象研究斜率和倾斜角之间的关系。

（3）

已经掌握图形计算器HP-prime的基本功能，个别学生能够熟练应用此机型的功能。

根据以上的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主归纳利用图形计算器判断直线的倾斜角和斜率的关系，体会用与没用信息技术的不同。

本节课教学重难点：利用图形计算器判断直线的倾斜角和斜率的关系。根据本节课的特点，在教学中借助图形计算器等多媒体手段充分展示学生不同的解题方法，进而帮助学生完成数学探究活动．

三、教学策略分析

数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微。”本节内容教学时，采用启发式教学和探究式教学相结合，以“自主学习”为主，以“小组合作”为辅，以“问题”为线索，以“动手”为手段，以“发现”为目的.运用手持技术HP-prime、多媒体等辅助教学，在新课改理念的号召下，改善学习方式、创新思维，有效提高学生的课堂效率，提升学生自身的素养. 为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助手持技术HP-prime动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

在整节课的教学中采用师生互动、生生互动、小组合作学习、学生展示、学生讲解的方式，这样可以有利于发挥各层次学生的作用，同时调动学生学习的积极性，学生之间的沟通又是更会更好．

五、教学过程设计

1、创设情境，设疑感知

教师利用多媒体展示天津这座城市中美景，师生共同观看，桥的结构中拉索的多少？放置的位置就用到数学知识斜率与倾斜角。

设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，感受数学之美，体会数学来源生活，又服务于生活，从而激发学生们热爱家乡的情感和学习数学的乐趣，进而感受到学数学是有用的！

2、旧知回顾，知识再现

（1）

直线的倾斜角的定义

定义：当直线l与x轴相交时，以x轴作为一个基准，x轴的正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。

 oylx

（2）

直线的倾斜角的取值范围

直线的倾斜角的取值范围：0，

（3）

直线的倾斜角与斜率之间的关系：ktan

直线的倾斜角与斜率的关系如下图：

图示

倾斜角

斜率

090

k0

90

k不存在

90180

k0

0

0

（4）直线过两点的斜率定义

1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式直线的斜率公式:经过两点Pky2y1x2x1

注意事项：（1）直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率。当倾斜角为90时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在,此时，直线垂直与x轴（平行于y轴或与y轴重合）；

090（2）当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大即倾斜角越大；

当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大即倾斜角也越大. 设计意图：只有熟练掌握了基本知识，才能够解决基本的题型。

3、借助手持技术、动手操作、引导探索、获取新知

问题

2

如何借助图形计算器研究倾斜角和斜率之间的关系？

例1（1）已知直线l的倾斜角的取值范围为围. ，63，求该直线斜率的取值范

学生活动：探究过程如下具体的图形计算器操作步骤在“高级绘图”APP中，在V1中输入“Y=TAN(X) AND0≤X ANDX≤π”，在V2中输入“的图像，即为斜率的取值范围。

≤X ANDX≤”，则被阴影覆盖63

(2)

若直线l的斜率的取值范围是-1，3，则其倾斜角的取值范围. 

学生活动：在“高级绘图”APP中，在V1中输入“Y=TAN(X) AND0≤X ANDX≤π”，在V2中输入“-1≤Y ANDY≤

”，则被阴影覆盖的图像，即为倾斜角的取值范围。

师生活动：先由学生独立完成，如果有不熟悉的可以同学之间互助，最后由学生展示，再由教师归纳总结.在此过程中教师重点引导利用正切函数的图象解决问题.学生可以借助图形计算器HP-prime绘制正切函数图象，利用相应的惠普发射器和接受器，所有学生的操作过程展示在大屏幕上及时提醒、归纳总结.

-2)的直线与线段AB总有公共点，求直线l的3)，B（3，2）例2 已知A(2，，过P(0，斜率的取值范围.

学生活动：可以先小组讨论，然后各自动手，利用图形计算器也可以不利用计算器研究斜率的变化情况。当然借助图形计算器能够更有效的完成，具体步骤是

在“几何学”APP中，点击“Symb”键，进入解析式视图，点击“命令-点-点”，在“point()”的括号中输入（-2,3），同理在下一行输入（3,2），即呈现出A、B两点

再在第三行点击“命令-线-线段”，在“segment()”的括号中输入“GA，GB”，即连接A、B两点。在绘图视图下，单击线段，选择“隐藏标签”

在第四行再次点击“命令-点-点”，在“point()”的括号中输入（0，-2），即P点（点击前面的小格更改名称为“GP”）。在第五行点击“命令-线-线段”，在“segment()”的括号中输入“GA，GP”，即连接P、A两点。在绘图视图下，单击线段，选择“隐藏标签”。在第六行同理，连接P、B两点。

点击“Plot”键，进入绘图视图，点击“命令-绘图-滑动条”，动画设置为“来回”。点击“Symb”键，在第八行，点击“命令-线-线”，在“line()”的括号中输入“GF*x-y-2=0”。即可完成。

长按滑动条，即可实现手动操作，若不动，则为自动旋转。

师生活动：小组合作探究，由小组代表展示，再由教师归纳总结.在此过程中教师重点引导利用正切函数的图象可知斜率与倾斜角成正比.再由学生借助图形计算器HP-prime直观形象的观察到斜率的变化，同时利用相应的

惠普发射器和接受器，所有学生的操作过程展示在大屏幕上及时提醒、归纳总结. 4.课堂小结：由学生总结，此节课的内容. 5.课后作业：

练习并研究有关图形计算器中的“高级绘图”和“几何学”的功能. 6.板书设置

标题

1、基础知识

2、例题分析

例1

例2

3、程序步骤