1.2.1 充要条件教案评析

充要条件

学习目标

1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．

知识点一

充要条件的概念

思考1

命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？

思考2

若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？

梳理

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作______．此时，我们说，p是q的____________，简称____________________________________________________．

知识点二

充要条件的判断

1．由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件

若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：

原命题

真

假

真

假

逆命题

假

真

真

假

条件p与

结论q的关系

结论

p是q成立的充分不必要条件

p是q成立的必要不充分条件

p是q成立的充要条件

p是q成立的既不充分又不必要条件

由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．

2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若A则p是q的充分不必要条件

B，

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B则p是q的必要不充分条件

A，

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

类型一

充要条件的判断

例1

下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件) (1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；

(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(4)p：sin α>sin β，q：α>β.

反思与感悟

充要条件的常用判断方法

(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：

①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；

②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；

③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；

④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．

(2)集合法：若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．

1跟踪训练1

(1)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(

) 2A．充要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分又不必要条件

(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

类型二

充要条件的探求与证明

命题角度1

探求充要条件

例2

求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件．

反思与感悟

探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．

跟踪训练2

设a、b、c为△ABC的三边，求方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件．

命题角度2

充要条件的证明

例3

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

反思与感悟

一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p⇒q. 跟踪训练3

求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.

B．充分不必要条件

D．既不充分又不必要条件

类型三

充分条件与必要条件的应用

例4

已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．

反思与感悟

首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后，构建满足条件的不等式(组)求解．同时要注意命题的等价性的应用．

3跟踪训练4

已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(

) x＋1A．[2，＋∞)

C．[1，＋∞)

B．(2，＋∞) D．(－∞，－1]

1．“x2>2 017”是“x2>2 016”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

2．“a>b”是“a>|b|”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

3．已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论中正确的是(

) ①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件；

②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件；

③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；

④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件．

A．③

B．①②

C．①②③

D．①②③④

4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________．

5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1

只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．

思考2

因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．

梳理

p⇔q

充分必要条件

充要条件

知识点二

1．p⇒q，但q⇒/ p

q⇒p，但p⇒/

q

p⇒q，q⇒p，即p⇔q

p⇒/ q，q⇒/

p

题型探究

例1

解

(1)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，

a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，

∴p是q的充分不必要条件．

(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，

∴p是q的充要条件．

(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．

跟踪训练1

(1)B

[由x＞1⇒x＋2＞3⇒log12x2＜0，log1x2＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－21，故“x＞1”是“log12x2＜0”成立的充分不必要条件．故选B.] (2)C

[当x＝1，y＝－2时，x>y，

但x>|y|不成立；

因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y. 所以x>y是x>|y|的必要不充分条件．] 4例2

解

充分性：当0

5判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a

＝a(5a－4)<0，

则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．

而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0. 显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．

必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，

a>0，所以a＝0或

2Δ＝a－4a1－a<0，

4解得0≤a<. 54故0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．

5跟踪训练2

解

先由题意求出条件：

设α是两方程的公共根，显然α≠0，

则α2＋2aα＋b2＝0，①

α2＋2cα－b2＝0，②

①＋②，得2α2＋2α(a＋c)＝0，

∴α＝－(a＋c)．

代入①，得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，即a2＝b2＋c2，以上求条件的过程就是必要性的证明过程．

再证明充分性：∵a2＝b2＋c2，

∴方程x2＋2ax＋b2＝0，

可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，

它的解为x1＝－(a＋c)，

x2＝c－a. 同理方程x2＋2cx－b2＝0可化为

x2＋2cx－a2＋c2＝0，

它的解为x3＝－(a＋c)，x4＝a－c. ∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根．

综上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是a2＝b2＋c2. 例3

证明

充分性：∵ac<0，

∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，

∴方程一定有两个不等实根，

c设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，

a∴方程的两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

c设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，

a即ac<0.

综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 跟踪训练3

证明

①充分性：

如果b＝0，那么f(x)＝kx，

因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，

即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，

所以b＝0. 综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. m例4

解

由3x＋m<0得，x<－. 3m∴p：A＝x|x<－3. 由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3. ∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．

∵p⇒q而q⇒/ p，∴A是B的真子集，

m∴－≤－1，

3∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．

跟踪训练4

B

[q：x<－1或x>2，

由题意知，{x|x≥k}{x|x<－1或x>2}，

则k>2，∴k的取值范围是(2，＋∞)．] 当堂训练

1．A

2.B

3.D

4.m＝－4或m＝0 m5．解

由3x＋m<0，得x<－，

3m∴p：A＝{x|x<－}．

3由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，

∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．

∵p⇒q而q⇒/ p，

∴AmB，∴－≤－1，

3∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．