1.1.2 四种命题教案1

高二下导学案

常用逻辑用语

1.1.2 四种命题

学习目标

1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．

2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．

3．会利用命题的等价性解决问题．

自学导引

1．四种命题的概念

(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_____和_____ ，那么这样的两个命题叫做______ ．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的_______．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“_______________”．

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____和_____，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的_______．也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“_______________”．

(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________和___________ ，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的_________．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“_______________”．

2．四种命题的相互关系 原命题

逆命题

真

真

假

假

真

假

真

假

否命题

逆否命题

.3．四种命题的真假性

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况. (2)四种命题的真假性之间的关系

①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______

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常用逻辑用语

想一想：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？

自主测评

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．若一个数是负数，则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数，则它是负数

C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知命题p：垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α，q是p的否命题，下面结论正确的是( ) A．p真，q真

B．p假，q假

C．p真，q假

D．p假，q真

4．下列有关命题的说法正确的是( ) A．“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题

B．“若cosβ＝1，则sinβ＝0”的逆命题是真命题

C．“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题

D．命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0

5．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

典型例题

题型一 四种命题之间的转换.

例1..

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x>10，那么x>0；

(3)当x＝2时，＋－6＝0. 变式1：.

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)垂直于同一平面的两直线平行；

(2)若<0，则方程－＋＝0有实根．

规律方法

：(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．

题型二 .

四种命题真假的判断

例2、有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

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常用逻辑用语

②“若a>b，则a>b”的逆否命题；

③“若≤－3，则－－6>0”的否命题；

④“同位角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是________．

变式2：.

下列命题中是真命题的是

( )．

bA．命题“若0

B．命题“若b＝3，则b＝9”的逆命题

C．命题“当＝2时，－3＋2＝0”的否命题

D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

规律方法 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

题型三 .

等价命题的应用

例3、判断命题“已知a，为实数，若关于x的不等式不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．

. 变式3：判断命题“若>0，则方程＋2－3＝0有实数

＋(2a＋1)＋a＋2≤0的解集根”的逆否命题的真假．

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常用逻辑用语

规律方法：由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

达标测试

1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是 ( )．

A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A

2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是 ( )．

A．若A∪B＝B，则A∩B＝A B．若A∩B≠A，则A∪B≠B

C．若A∪B≠B，则A∩B≠A D．若A∪B≠B，则A∩B＝A

3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为 ( )．

A．0 B．1 C．2 D．4 4．命题“若a>b，则ac>bc(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )．

A．0 B．2 C．3 D．4 5．若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的 ( )．

A．原命题 B．逆命题 C．否命题 D．逆否命题

6．“若x、y全为零，则xy＝0”的否命题为__________．

7．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有______个．

8．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________．

9．给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x＋(a－1)x＋a≤0的解集为∅；

命题乙：函数y＝(2a－a)为增函数．

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙有且只有一个是真命题；

分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围．

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