1.2.3 空间几何体的直观图优秀教学设计

石家庄外国语教育集团

“四自主·四环节”课堂教学设计

日期

学科

课题

数学

班级

课时

十年级9、10班

1 授课教师

课型

空间几何体的直观图

甄敏英

新授

1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图，采用对比的方法了解在平行投影下画空教学

目标

间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

3. 提高空间想象力与直观感受，体会对比在学习中的作用，感受几何作图在生产活动中的应用。

教学

重点

教学

难点

项目

及要求

项目

设置

意图

用斜二测画法画空间几何体直观图

用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理

用斜二测画法画空间几何体直观图

将空间几何体画出立体感

教师活动

项目准备：

教学过程（项目实施——交流展示——评价激励）

学生活动

1．用斜二侧画法画水平放置的正六边形的直观图.

用斜二测画法画水平放置的直观图的步骤是：

自

主

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直完

观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使成

∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段. （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？

阅读课本P1618

指导调控：

画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感.

对于小组合作2：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E′，再去确定D′的位置.

1：用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCDABCD的直观图.

画法：（1）画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.

图2 （2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=3cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过2

归纳总结：

画几何体的直观图时要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际组

上建立的是平面直角坐标系.合

画几何体的直观图的步骤作

是：

（1）在已知图形所在的图7 空间中取水平平面，作互相解：步骤是：（1）如图8所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直垂直的轴Ox、Oy，再作Oz线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图9所示，画出轴，使对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′=45°. ∠xOy=90°,∠yOz=90°. （2）如图8所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′=AB=4 31

（2）画出与Ox、Oy、3cm ≈2.598 cm；cm，A′E′=AE=过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′=ED，Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，22使∠x′O′y′=45°，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′=CD=2 cm. ∠y′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.

（3）已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，

在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并

使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线图8

图9

图10 段和原坐标轴的位置关系相（3）连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，同. 如图10所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.

（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图

点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. （3）画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.

（4）成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.

2：

如图7所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，小

∠DAB=30°，AD=3 cm，试画出它的直观图.

中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

（5）擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 问题：如图16所示,已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

拓展提升：

斜二测画法的作图技巧:

1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等.

2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出. 3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图.

图16

由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱的上底面为底面的四棱锥拼接而成. 交

流

展

示

图17

解：步骤是：

（1）作出长方体的直观图ABCD—A1B1C1D1，如图17(1)所示. （2）再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图17(2)所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1、V′B1、V′C1、V′D1得到四棱锥的直观图，如图17（2）. （3）擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图17(3).

1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（

）

A.16

B.64

C.16或64

D.都不对

2．利用斜二测画法画直观图时：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是___________. 巩

固

练

习

作一．课本作业

业课本P15练习1、2、3、4 布置

二．“四环节”课堂教学指导丛书

1．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（

）

A.26

B.46 C.3

D.都不对

2．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（

）

3．已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图A/B/C/的面积为（

）

Ａ. 32326262a

Ｂ. a

Ｃ. a

Ｄ. a

48816４．如图的正方形O/A/B/C/的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（

）

Ａ. 6cm

Ｂ. 8cm

Ｃ.（2+32）cm

Ｄ.（2+23）cm 5.下列叙述中正确的个数是（ ）

①相等的角，在直观图中仍相等；

②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；

③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；

④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。

A．0

B．1

C．2

D．3 6．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的（

）倍

Ａ.

212

Ｂ.

2

Ｃ.

Ｄ.

224B/ y/ 7．如图，等腰直角OAB是斜二侧画法下OAB的直观图，它

的斜边长为OAa，求OAB的面积

A.O/ A/ x/ 212

B.1

C.12

D.22

222

板书设计

课题

空间几何体的直观图

项目设置：用斜二测画法画空间几何体直观图

归纳总结：

用斜二测画法画直观图的步骤：

教学反思

由于直观图的画法可以灵活多变，尺寸不作严格要求.因此本节教学设计中没有设计过多地严格按步骤画直观图的题目，这要引起我们的注意.特别是高考中很少见直接考查画直观图的题目，并且高考试题关于立体几何的解答题其直观图通常直接给出，因此本节主要是通过画直观图培养学生的空间想象能力，以及画图和识图的能力.